udachnik

Все сечения нарисованы красным цветом на рисунках.
1) Сечение ABEF, где F - середина A1D1.
2) Сечение KLMN, где N - середина AD.
3) Сечение ABEF, где E - середина B1C1, F - середина A1C1.

Я это сделаю, но учтите, что нельзя давать целую контрольную в одном вопросе.
Нужно разбивать на 2-3 задачи в одном вопросе.
1.8/9*27/28 = 8/28*27/9 = 2/7*3 = 6/7
70*7/10 = 7*10*7/10 = 7*7 = 49
(2/5)^2 = 2^2/5^2 = 4/25
2/5*0 = 0
9/35 : (3/5) = 9/35 * 5/3 = 5/35 * 9/3 = 1/7 * 3 = 3/7
12 : (2/3) = 12 * 3/2 = 2*6 * 3/2 = 6*3 = 18
2/3 : 12 = 2/3 * 1/12 = 2/3 * 1/(2*6) = 1/(3*6) = 1/18
2/3 : (2/3) = 2/3 * 3/2 = 1
0 : (2/3) = 0
2/3 : 0 - решения нет, на 0 делить нельзя!
1 : (5/7) = 1 * 7/5 = 7/5
5/7 : 1 = 5/7

2.[m]\Big ( \frac{5}{14} : (\frac{1}{7})^2 - 17 + \frac{3}{8} \Big ) \cdot 8 =\Big ( \frac{5}{14} : \frac{1}{49} - 17 + \frac{3}{8} \Big ) \cdot 8 =[/m]
[m]= \Big ( \frac{5}{2 \cdot 7} \cdot 49 - 17 + \frac{3}{8} \Big ) \cdot 8 = \Big ( \frac{5 \cdot 7}{2} - 17 + \frac{3}{8} \Big ) \cdot 8[/m]
Дальше можно вычислить выражение в скобках, но проще их раскрыть:
[m]\Big ( \frac{5 \cdot 7}{2} - 17 + \frac{3}{8} \Big ) \cdot 8 = \frac{35}{2} \cdot 8 - 17 \cdot 8 + \frac{3}{8} \cdot 8 =[/m]
[m]= 35 \cdot 4 - 17 \cdot 8 + 3 = 140 - 136 + 3 = 7[/m]
Ответ: [b]7[/b]

3.[m]14a - 1 \frac{3}{5} = 14a - \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = 14a - \frac{8}{5}[/m]
1) При a = 4/7 будет:
[m]14a - \frac{8}{5} = 14 \cdot \frac{4}{7} - \frac{8}{5} = 2 \cdot 7 \cdot \frac{4}{7} - \frac{8}{5} = 8 - \frac{8}{5} = \frac{8 \cdot 5 - 8}{5} = \frac{32}{5} = \frac{64}{10} = 6,4[/m]
2) При a = 5/14 будет:
[m]14a - \frac{8}{5} = 14 \cdot \frac{5}{14} - \frac{8}{5} = 5 - \frac{8}{5} = \frac{5 \cdot 5 - 8}{5} = \frac{17}{5} = \frac{34}{10} = 3,4[/m]
Ответ: [b]1) 6,4; 2) 3,4[/b]

4.1) [m]\frac{9}{20} \cdot x = \frac{3}{4}[/m]
[m]x = \frac{3}{4} : \frac{9}{20}[/m]
[m]x = \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{9}[/m]
[m]x = \frac{20}{4} \cdot \frac{3}{9}[/m]
[m]x = \frac{5}{3}[/m]
2) [m]15x + \frac{1}{6} = 1[/m]
[m]15x = 1 - \frac{1}{6}[/m]
[m]15x = \frac{5}{6}[/m]
[m]x = \frac{5}{6} : 15[/m]
[m]x = \frac{1}{18}[/m]
Ответ: [b]1) 5/3; 2) 1/18[/b]

5.В табуне 76 лошадей. Из них 1/4 гнедые, а остальные вороные.
Гнедых лошадей: 76 : 4 = 19
Вороных лошадей: 76 - 19 = 57
Ответ: [b]57 лошадей[/b]

6.Ели составляют 5/11, а березы 4/11 всех деревьев. Ещё есть осины.
Берез всего 12 - это 4/11 всех деревьев.
Значит, 12 : 4 = 3 дерева - это 1/11 часть всех деревьев.
Елей 5/11 всех деревьев, значит, их:
5 * 3 = 15
Замечу, что всего деревьев 3*11 = 33, а осин 2/11, то есть 3*2 = 6.
Но про это не спрашивают, поэтому
Ответ: [b]15 елей.[/b]

По сути задание вот какое:
Есть формула напряжения на датчике:
U = U0*sin (ω*t + φ)
Известно, что:
U0 = 10 В, ω = 120°/c = 4π/6 рад/с, φ = 30° = π/6 рад.
Также известно, что лампочка горит, если U ≥ 5 В.
Вопрос: Сколько времени лампочка будет гореть на протяжении первой секунды?

Подставляем данные, получаем неравенство:
10*sin (4π/6*t + π/6) ≥ 5
sin (4π/6*t + π/6) ≥ 1/2
Сделаем замену x = 4π/6*t + π/6
sin x ≥ 1/2
Решение этого неравенства показано на рисунке красной дугой.
x ∈ (π/6 + 2π*k; 5π/6 + 2π*k), k ∈ Z
Делаем обратную замену:
4π/6*t + π/6 ∈ (π/6 + 2π*k; 5π/6 + 2π*k), k ∈ Z
Вычитаем π/6 везде:
4π/6*t ∈ (2π*k; 4π/6 + 2π*k), k ∈ Z
Делим всё на 4π/6:
t ∈ (12/4*k; 1 + 12/4*k), k ∈ Z
Получаем:
t ∈ (3k; 1 + 3k), k ∈ Z
Вопрос: Сколько времени лампочка будет гореть на протяжении первой секунды?
Первая секунда - это при k = 0.
t ∈ (3*0; 1 + 3*0)
t ∈ (0; 1)
Ответ: лампочка будет гореть ВСЮ первую секунду.

1) Двугранных углов в параллелепипеде столько же, сколько ребер - 12.
Каждое ребро образует двугранный угол.
Ответ: [b]12[/b]

2) Диагональ прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:
d^2 = a^2 + b^2 + c^2
Подставляем известные величины:
(3sqrt(5))^2 = 3^2 + 4^2 + c^2
9*5 = 9 + 16 + c^2
c^2 + 25 = 45
c^2 = 20
с = sqrt(20) = 2sqrt(5) см.
Ответ: [b]2sqrt(5) см.[/b]

3) Треугольник со сторонами 8, 5 и 9 см, имеет площадь по формуле Герона:
p = (a + b + c)/2 = (8 + 5 + 9)/2 = 22/2 = 11
S(пр) = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = sqrt(11(11-8)(11-5)(11-9)) = sqrt(11*3*6*2) = 6sqrt(11) см^2
Площадь заданного треугольника:
S(тр) = 36 см^2
Косинус угла между плоскостью треугольника и плоскостью его ортогональной проекции можно найти по формуле:
cos φ = S(пр)/S(тр) = 6sqrt(11) / 36 = sqrt(11)/6
Ответ: [b]cos φ = sqrt(11)/6[/b]

4) Это, прошу, сами нарисуйте.
Отложите по оси Ox 2 единицы, по оси Oy 3 единицы, по оси Oz - 4 единицы.

5) Не могу решить, нет рисунка.

6) A(3; 3; – 4) B(– 3; 5; 7) C(– 3; – 3; 2).
a) Найти координаты вершины D параллелограмма.
Смещение точки D относительно точки A будет таким же, как смещение
точки C относительно точки B.
Смещение точки C относительно точки B: (-3+3; -3-5; 2-7) = (0; -8; -5)
Координаты точки D: (3 + 0; 3 - 8; -4 - 5) = (3; -5; -9)
b) |BD| = sqrt((3+3)^2 + (-5-5)^2 + (-9-7)^2) = sqrt(6^2 + (-10)^2 + (-16)^2) =
= sqrt(36 + 100 + 256) = sqrt(392) = sqrt(4*49*2) = 14sqrt(2) см

|AC| = sqrt((-3-3)^2 + (-3-3)^2 + (2+4)^2) = sqrt((-6)^2 + (-6)^2 + 6^2) = sqrt(36*3) = 6sqrt(3) см

Ответ:[b] |BD| = 14sqrt(2) см; |AC| = 6sqrt(3) см.[/b]

7) A(2; 3; 2) B(– 6; 1; 2) C(– 4; – 1; 4)
Медиана AM приходит в точку M - середину отрезка BC
[m]\large M = (\frac{-4-6}{2}; \frac{-1+1}{2}; \frac{4+2}{2}) = (-\frac{10}{2}; \frac{0}{2}; \frac{6}{2}) = (-5; 0; 3)[/m]
Уравнение прямой AM по двум точкам:
[m]\large (AM): \frac{x+5}{2+5} = \frac{y-0}{3-0} = \frac{z-3}{2-3} [/m]
[m]\large (AM): \frac{x+5}{7} = \frac{y}{3} = \frac{z-3}{-1} [/m]

Медиана BN приходит в точку N - середину отрезка AC
[m]\large N = (\frac{-4+2}{2}; \frac{-1+3}{2}; \frac{4+2}{2}) = (-\frac{2}{2}; \frac{2}{2}; \frac{6}{2}) = (-1; 1; 3)[/m]
Уравнение прямой BN по двум точкам:
[m]\large (BN): \frac{x+1}{-6+1} = \frac{y-1}{1-1} = \frac{z-3}{2-3} [/m]
[m]\large (BN): \frac{x+1}{-5} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-3}{-1} [/m]
Знаменатель 0 в данном случае законный, он означает, что медиана BN находится в плоскости y = 1, то есть параллельна плоскости xOz.

Теперь нам нужно найти точку пересечения прямых AM и BN.
Координату y мы уже знаем из прямой BN: [b]y = 1[/b]. Найдем x и z.
[m]\large \begin{cases}
\frac{x+5}{7} = \frac{z-3}{-1} \\
\frac{x+1}{-5} = \frac{z-3}{-1} \\
\end{cases}[/m]
Правые части одинаковы, можно приравнять друг к другу левые части и найти x.
Но это будет частное решение. А я дам общее решение, подходящее в любой ситуации.
Раскрываем пропорции:
{ -1(x + 5) = 7(z - 3)
{ -1(x + 1) = -5(z - 3)
Раскрываем скобки:
{ -x - 5 = 7z - 21
{ -x - 1 = -5z + 15
Переносим z налево, а числа направо:
{ -x - 7z = -16
{ -x + 5z = 16
Умножаем 1 уравнение на -1:
{ x + 7z = 16
{ -x + 5z = 16
Складываем уравнения:
12z = 32
z = 32/12 = 8/3
x = 16 - 7z = 16 - 7*8/3 = (48 - 56)/3 = -8/3

Ответ: Координаты точки пересечения медиан: [b]O(-8/3; 1; 8/3)[/b]

Все правильно у тебя решено.
Ты нашел, что A = 8 - 8sqrt(2).
Тогда ответ: A < a ≤ 4 можно переписать так:
8 - 8sqrt(2) < a ≤ 4
Или по-другому:
a ∈ (8 - 8sqrt(2); 4]
Левая скобка круглая, потому что левое неравенство строгое: <.
Правая скобка квадратная, потому что правое неравенство нестрогое: ≤ .
Так что ответ записан правильно.

[m]\sin 5x \cdot \cos 3x \cdot \sin x[/m]
Есть формула:
[m]\sin a \cdot \cos b = \frac{1}{2} \cdot (\sin (a-b) + \sin (a+b))[/m]
В нашем случае:
[m]\sin 5x \cdot \cos 3x \cdot \sin x = \frac{1}{2} \cdot (\sin (5x-3x) + \sin (5x+3x)) \cdot \sin x = [/m]
[m]= \frac{1}{2} \cdot \sin x \cdot (\sin 2x + \sin 8x) [/m]
Можно остановиться на этом, здесь одни синусы, а можно пойти дальше и выразить всё выражение только через [b]sin x[/b] и [b]cos x[/b].
[m]\frac{1}{2} \cdot \sin x \cdot (\sin 2x + \sin 8x)= \frac{1}{2} \cdot \sin x \cdot (2 \sin x \cos x + 2 \sin 4x \cos 4x) =[/m]
[m]= \sin x \cdot (\sin x \cos x + \sin 4x \cos 4x) = \sin x \cdot (\sin x \cos x + 2 \sin 2x \cos 2x \cos 4x) =[/m]
[m]= \sin x \cdot (\sin x \cos x + 4 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x) = [/m]
[m]= \sin^2 x \cos x (1 + 4 \cos 2x \cos 4x) = \sin^2 x \cos x (1 + 4 \cos 2x (2 \cos^2 2x - 1)) = [/m]
[m]= \sin^2 x \cos x (1+8\cos^3 2x - 4\cos 2x) =[/m]
[m]= \sin^2 x \cos x (1+8\cos^3 2x - 4(2 \cos^2 x - 1)) = [/m]
[m]= \sin^2 x \cos x (1+8\cos^3 2x - 8\cos^2 x + 4) =\sin^2 x \cos x (8\cos^3 2x - 8\cos^2 x + 5)=[/m]
[m]= \sin^2 x \cos x (8(2 \cos^2 x - 1)^3 - 8\cos^2 x + 5)[/m]
Получили:
[m]\sin 5x \cdot \cos 3x \cdot \sin x = \sin^2 x \cos x (8(2 \cos^2 x - 1)^3 - 8\cos^2 x + 5)[/m]
Сделал всё, что смог. Можно, конечно, ещё куб раскрыть, но это уже усложнение.

Всегда касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
1) tg KOL = KL/OK
∠ KOL = 60°, OK = 6
KL = OK*tg 60° = 6*sqrt(3)

2) sin NMO = ON/OM = 9/18 = 1/2
∠ NMO = 30°
∠ NMK = 2* ∠ NMO = 2*30° = 60°

3) OA = OB = AB, треугольник AOB - равносторонний.
∠ OAB = 60°, ∠ OAC = 90°
∠ BAC = ∠ OAC - ∠ OAB = 90° - 60° = 30°

4) Как и в 3), треугольник AOB - равносторонний.
∠ MAB = 30°, но ∠ MBA = 30° тоже.
∠ AMB = 180° - ∠ MAB - ∠ MBA = 180° - 30° - 30° = 120°

5) По теореме Пифагора
MN = sqrt(ON^2 - OM^2) = sqrt(15^2 - 12^2) = sqrt(225 - 144) = sqrt(81) = 9

6) Две касательные из одной точки, имеют одинаковую длину до точек касания.
MK = NK
∠ MON = 120°, ∠ MOK = 1/2* ∠ MON = 1/2*120° = 60°
OK = 6
MK = OK*sin MOK = 6*sin 60° = 6*sqrt(3)/2 = 3*sqrt(3)
NK = MK = 3*sqrt(3)

7) ∠ ACB = 90°, AB = 25, CD = 12
AE = AD = R
DB = AB - AD = 25 - R
AC = AE + EC = R + x
По теореме Пифагора
{ AD^2 + CD^2 = AC^2
{ CD^2 + DB^2 = BC^2
{ AC^2 + BC^2 = AB^2
Подставляем известные и неизвестные данные:
{ R^2 + 12^2 = (R + x)^2
{ 12^2 + (25 - R)^2 = BC^2
{ (R + x)^2 + BC^2 = 25^2
(R + x)^2 подставляем из 1 уравнения в 3 уравнение,
BC^2 подставляем из 2 уравнения в 3 уравнение:
R^2 + 144 + 144 + (25 - R)^2 = 625
Раскрываем скобки:
R^2 + 2*144 + 625 - 50*R + R^2 = 625
Приводим подобные:
2R^2 + 2*144 - 50R = 0
Делим на 2:
R^2 - 25R + 144 = 0
D = (-25)^2 - 4*1*144 = 625 - 576 = 49 = 7^2
R1 = (25 - 7)/2 = 18/2 = 9 - не может быть, слишком маленький.
R2 = (25 + 7)/2 = 32/2 = 16 - подходит.
AE = 16
Это самая сложная задача из всех.

8) Точку пересечения отрезка OM с окружностью обозначим C.
OA = OB = OC = R
OM = 2*R
В прямоугольном треугольнике OBM катет OB равен половине гипотенузы.
Значит, ∠ OMB = 30°
∠ AMB = 2* ∠ OMB = 2*30° = 60°

1) Точки A(-4; 1; 2); B(2; 3; -1)
Координаты вектора AB:
AB = {2 - (-4); 3 - 1; -1 - 2} = {6; 2; -3}
Длина вектора AB:
|AB| = sqrt(6^2 + 2^2 + (-3)^2) = sqrt(36 + 4 + 9) = sqrt(49) = 7

2) Векторы a(3; 1; -2); b(-1; 2; 1); c(2; -3; 4); d(1; 2; 3)
Вектор n:
n = 2a + b - 3c + d = (2*3+(-1)-3*2+1; 2*1+2-3(-3)+2; 2(-2)+1-3*4+3)
n = (6-1-6+1; 2+2+9+2; -4+1-12+3) = (0; 15; -12)

3) Векторы a(2; 1; -1); b(1; 3; 2); c(-1; 2; 1).
Разложить вектор d(4; 7; 3) по этим векторам.
Чтобы разложить вектор d по этим векторам, нужно решить систему:
{ 2a + 1b + (-1)c = 4
{ 1a + 3b + 2c = 7
{ (-1)a + 2b + 1c = 3
Переставим 1 уравнение на 3 место:
{ 1a + 3b + 2c = 7
{ -1a + 2b + 1c = 3
{ 2a + 1b - 1c = 4
Складываем 1 и 2 уравнения.
1 уравнение умножаем на -2 и складываем со 2 уравнением.
{ 1a + 3b + 2c = 7
{ 0a + 5b + 3c = 10
{ 0a - 2b - 5c = -10
Умножаем 2 уравнение на 2, а 3 уравнение на 5 и складываем их.
{ 1a + 3b + 2c = 7
{ 0a + 5b + 3c = 10
{ 0a + 0b - 19c = -30
c= 30/19; подставляем во 2 уравнение:
5b + 90/19 = 10 = 190/19
5b = 100/19
b = 20/19
Подставляем в 1 уравнение:
a + 60/19 + 60/19 = 7
a = 7 - 120/19
a = 133/19 - 120/19
a = 13/19
Разложение вектора d по векторам a, b, c:
d = 13/19*a + 20/19*b + 30/19*c

4) Точки A(1; -2; 3); B(7; 4; 6)
Точка M делит отрезок AB в отношении 3 : 2.
Отрезок AB делится на 5 частей. Точка M отрезает 3 части от точки A.
[m]\large M = (1+\frac{7-1}{5} \cdot 3;\ \ -2+\frac{4-(-2)}{5} \cdot 3;\ \ 3+\frac{6-3}{5} \cdot 3) = [/m]
[m]\large M = (1+\frac{18}{5};\ \ -2+\frac{18}{5}\ \ 3+\frac{9}{5}) = (4,6;\ \ 1,6;\ \ 4,8)[/m]

{ y = x^2 - 2x - 4
{ y = 4
Это совсем простая система, тем более, что во 2 уравнении уже написано значение y.
Подставляем y в 1 уравнение и перепишем его наоборот:
x^2 - 2x - 4 = 4
x^2 - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x1 = -2; x2 = 4
Ответ: (-2; 4); (4; 4)

[m]\begin{cases}
|x| + \log_4 (y^2+1) = 2 \\
\log_2 (x + 2a) + 2|y| = 2 \\
\end{cases}[/m]
Переведем логарифм по осн. 2 в логарифм по осн. 4:
[m]\begin{cases}
|x| + \log_4 (y^2+1) = 2 \\
2\log_4 (x + 2a) + 2|y| = 2 \\
\end{cases}[/m]
2 уравнение делим на 2:
[m]\begin{cases}
|x| + \log_4 (y^2+1) = 2 \\
\log_4 (x + 2a) + |y| = 1 \\
\end{cases}[/m]
Выделяем логарифмы:
[m]\begin{cases}
\log_4 (y^2+1) = 2 - |x| \\
\log_4 (x + 2a) = 1 - |y|\\
\end{cases}[/m]
По определению логарифма:
[m]\begin{cases}
y^2 + 1 = 4^{2 - |x|} \\
x + 2a = 4^{1 - |y|} \\
\end{cases}[/m]
В общем, я не знаю, как такое решать аналитически,
поэтому решил графически. Смотрите Рис. 1
График второй функции от изменения а плавает налево и направо.
Чем больше а, тем график левее.
Как видим, только при [b]а = 3[/b] решение одно:
x = -2; y = 0
При увеличении а график сдвигается влево и контакт теряется.
А при уменьшении а график сдвигается вправо и будет
2, 3 или даже 4 решения.
При значении а примерно -0,34 будет последний раз 2 решения, смотрите Рис. 2.
А при дальнейшем уменьшении значения а контакт теряется.

Ответ: а = 3

Как я понимаю, надо упростить выражение:
[m]\sin 4x + 2\cos 3x – \sin 2x = (\sin 4x - \sin 2x) + 2\cos 3x[/m]
Есть формула разности синусов:
[m]\sin a - \sin b = 2 \sin \frac{a-b}{2} \cdot \cos \frac{a+b}{2}[/m]
Подставляем:
[m](\sin 4x - \sin 2x) + 2\cos 3x = 2 \sin \frac{4x-2x}{2} \cdot \cos \frac{4x+2x}{2} + 2\cos 3x =[/m]
[m]= 2 \sin x \cos 3x + 2\cos 3x = 2\cos 3x \cdot (\sin x + 1)[/m]
Можно вывести формулу косинуса тройного угла как косинуса суммы:
[m]\cos 3a = \cos(2a + a) = \cos 2a \cos a - \sin 2a \sin a =[/m]
[m]= (2\cos^2 a - 1) \cos a - 2\sin a \cos a \cdot \sin a = [/m]
[m]= 2\cos^3 a - \cos a - 2\cos a \sin^2 a =[/m]
[m]= \cos a (2\cos^2 a - 2\sin^2 a - 1) = \cos a (2\cos^2 a + 2 - 2\sin^2 a - 3)[/m]
[m]= \cos a (2\cos^2 a + 2\cos^2 a - 3) =\cos a (4\cos^2 a - 3) [/m]
Окончательно получаем:
[m]\cos 3a = 4\cos^3 a - 3\cos a[/m]
Подставляем:
[m]2\cos 3x \cdot (\sin x + 1) = (4\cos^3 x - 3\cos x)(\sin x + 1)[/m]

ИИ пока не научился правильно писать формулы в LaTEX, но решил в общем верно.
[m]\log_{1/3} (2x - 4) > \log_{1/3} (14 - x)[/m]
Область определения функции логарифма:
Выражение под логарифмом должно быть строго положительным.
[m]\begin{cases}
2x - 4 > 0 \\
14 - x > 0 \\
\end{cases}[/m]
Получаем:
[m]\begin{cases}
x > 2 \\
x < 14 \\
\end{cases}[/m]
[b]x ∈ (2; 14)[/b]

Так как основание логарифма 1/3 ∈ (0; 1), то функция убывающая.
То есть, чем больше число под логарифмом, тем меньше логарифм.
Поэтому при переходе от логарифмов к числам знак меняется.
2x - 4 < 14 - x
2x + x < 14 + 4
3x < 18
[b]x < 6[/b]
С учетом области определения
Ответ: [b]x ∈ (2; 6)[/b]

С 1 прииска руду возят машины по 5 тонн, и стоимость перевозки
17 т.руб. за тонну, то есть 17*5 = 85 т.руб. за машину.
Со 2 прииска руду возят машины по 7 тонн, и стоимость перевозки
15 т.руб. за тонну, то есть 15*7 = 105 т.руб. за машину.
А завод может переработать за сутки 210 тонн.
За день приезжает x машин с 1 прииска и y машин со 2 прииска.
Они привозят 5x + 7y тонн руды, а всего 210 тонн.
Составим уравнение:
5x + 7y = 210
Эта перевозка стоит:
C = 85x + 105y т.руб, и эта сумма должна быть наименьшей.

Выразим из уравнения y через x.
y = (210 - 5x)/7 = 30 - 5x/7
Чтобы y был целым, x должно быть кратно 7. Составим таблицу:
x = 0, y = 30 - 0 = 30, C = 85*0 + 105*30 = 3150 т.руб.
x = 7, y = 30 - 5 = 25, C = 85*7 + 105*25 = 3220 т.руб.
x = 14, y = 30 - 10 = 20, C = 85*14 + 105*20 = 3290 т.руб.
x = 21, y = 30 - 15 = 15, C = 85*21 + 105*15 = 3360 т.руб.
x = 28, y = 30 - 20 = 10, C = 85*28 + 105*10 = 3430 т.руб.
x = 35, y = 30 - 25 = 5, C = 85*35 + 105*5 = 3500 т.руб.
x = 42, y = 30 - 15 = 0, C = 85*42 + 105*0 = 3570 т.руб.
Как видим, выгоднее всего забыть про 1 прииск и
возить руду только со 2 прииска.

Интересная задачка. Дуги на углах показывают, что углы равны:
∠ NMS = ∠ SNK, ∠ SNM = ∠ SKN
Это значит, что и третьи углы равны: ∠ NSM = ∠ NSK
А так как углы ∠ NSM и ∠ NSK - смежные, то ∠ NSM = ∠ NSK = 90°.
То есть треугольники NMS и KSN - прямоугольные и подобные.
И, кстати, они оба также подобны треугольнику NKM, который тоже прямоугольный: ∠ MNK = 90°.
Теперь найдем коэффициент подобия n, и из него найдем k.
ΔNMS: малый катет равен k, большой катет равен 27,04.
ΔKSN: малый катет равен 4, большой катет равен k.
Пропорция:
[m]\large \frac{k}{4} = \frac{27,04}{k}[/m]
[m]k^2 = 27,04 \cdot 4 [/m]
[m]k^2 = 5,2^2 \cdot 2^2[/m]
[m]k = 5,2 \cdot 2[/m]
[m]k = 10,4[/m]
Посчитано в уме!
Ответ: 10,4

Смотрите рисунок. Мы знаем, что AB = 13 см и tg A = 0,2.
Есть интересная формула в тригонометрии:
1 + tg^2 a = 1/cos^2 a
1 + 0,2^2 = 1/cos^2 a
1,04 = 1/cos^2 a
cos^2 a = 1/1,04 = 100/104 = 25/26
cos a = 5/sqrt(26) = 5sqrt(26)/26
sin^2 a = 1 - cos^2 a = 1 - 25/26 = 1/26
sin a = 1/sqrt(26) = sqrt(26)/26
Далее, зная cos A и sin A, можно найти катеты:
В прямоугольном треугольнике ABC:
AC = AB*cos A = 13*5sqrt(26)/26 = 5sqrt(26)/2 = 2,5sqrt(26)
В прямоугольном треугольнике ACH:
CH = AC*sin A = 2,5sqrt(26)*sqrt(26)/26 = 2,5

Ответ: CH = 2,5

9.[m]\log^2_{|x|} (x^2) + \log_2 (x^2) ≤ 8[/m]
Область определения функции логарифма:
{ x^2 > 0
{ |x| ≠ 0; |x| ≠ 1
x ∈ (-oo; -1) U (-1; 0) U (0; 1) U (1; +oo)
Заметим, что [m]\log_{|x|} (x^2) = 2\log_{|x|} (|x|) = 2[/m], поэтому [m]\log^2_{|x|} (x^2) = 4[/m]
[m]4 + \log_2 (x^2) ≤ 8[/m]
[m]\log_2 (x^2) ≤ 4[/m]
[m]x^2 ≤ 2^4[/m]
[m]x^2 ≤ 16[/m]
[m]|x| ≤ 4[/m]
Решение: x ∈ [-4; 4]
С учетом области определения:
Ответ: x ∈ [-4; -1) U (-1; 0) U (0; 1) U (1; 4]

10.[m]\log^2_{|x+1|} (x+1)^4 + \log_2 (x+1)^2 ≤ 22[/m]
Область определения функции логарифма:
{ (x+1)^2 > 0
{ |x+1| ≠ 0; |x+1| ≠ 1
x ∈ (-oo; -2) U (-2; -1) U (-1; 0) U (0; +oo)
Заметим, что [m]\log_{|x+1|} (x+1)^4 = 4\log_{|x+1|} (|x+1|) = 4[/m], поэтому [m]\log^2_{|x+1|} (x+1)^4 = 16[/m]
[m]16 + \log_2 (x+1)^2 ≤ 22[/m]
[m]\log_2 (x+1)^2 ≤ 6[/m]
[m](x+1)^2 ≤ 64[/m]
[m]|x+1| ≤ 8[/m]
Решение: x ∈ [-9; 7]
С учетом области определения:
Ответ: x ∈ [-9; -2) U (-2; -1) U (-1; 0) U (0; 7]

11.[m]\log_{5-x} \frac{x+2}{(x-5)^4} ≥ -4[/m]
Область определения функции логарифма:
{ x + 2 > 0
{ 5 - x > 0; 5 - x ≠ 1
Мы можем так написать, потому что (x - 5)^4 > 0 при любом x ≠ 5.
И еще, (x - 5)^4 = (5 - x)^4
x ∈ (-2; 4) U (4; 5)
Как известно, логарифм дроби равен разности логарифмов:
[m]\log_{5-x} (x+2) - \log_{5-x} (5-x)^4 ≥ -4[/m]
[m]\log_{5-x} (x+2) - 4 ≥ -4[/m]
[m]\log_{5-x} (x+2) ≥ 0[/m]
Применим известное свойство логарифмов:
[m]\large \log_{a} (b) = \frac{\log_{c} (b)}{\log_{c} (a)}[/m]
Причем новое основание с имеет только два ограничения: c > 0; c ≠ 1.
Можно взять, например, с = 10 и перейти к десятичным логарифмам.
[m]\frac{\lg (x+2)}{\lg (5-x)} ≥ 0[/m]
Это неравенство распадается на две системы:
1)
{ lg (x + 2) ≤ 0
{ lg (5 - x) < 0
Решаем:
{ x + 2 ∈ (0; 1]
{ 5 - x ∈ (0; 1)
Получаем:
{ x ∈ (-2; -1]
{ x ∈ (4; 5)
Промежутки не пересекаются, значит, в этом варианте решений нет.

2)
{ lg (x + 2) ≥ 0
{ lg (5 - x) > 0
Решаем:
{ x + 2 ∈ [1; +oo)
{ 5 - x ∈ (-oo; 5)
Получаем:
x ∈ [1; 5)
С учетом области определения:
Ответ: x ∈ [1; 4) U (4; 5)

Смотрите рисунок.
Радиус цилиндра R = sqrt(113) см, образующая AA1 = 3 см
Сечение ABB1A1 находится на расстоянии O1M = 7 см от оси цилиндра OO1.
Нужно найти площадь сечения.

Решение:
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси - это прямоугольник.
Чтобы найти его площадь, нужно знать его длину и высоту.
Высота нам уже известна, это образующая AA1 = 3 см.
Остается найти длину AB.
Треугольник O1A1M - прямоугольный.
Мы можем найти половину этой длины AM из теоремы Пифагора.
Катет O1M и гипотенуза O1A1 показаны красным.
A1M = sqrt(O1A1^2 - O1M^2) = sqrt((sqrt(113))^2 - 7^2) = sqrt(113 - 49) = sqrt(64) = 8 см
A1B1 = A1M*2 = 8*2 = 16 см
Площадь сечения:
S = A1B1*AA1 = 16*3 = 48 см^2

Ответ: 48 см^2

[m]\large y = \frac{2x-3}{x^3}[/m]
План исследования функции:

1.Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
x ≠ 0
[b]x ∈ (-oo; 0) U (0; +oo)[/b]

2.Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Вертикальная асимптота [b]x = 0[/b]

3.Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
Так как x ≠ 0, пересечения с осью Oy - НЕТ.
Пересечение с осью Ox:
[m]\large y = \frac{2x-3}{x^3} = 0[/m]
2x - 3 = 0
x = 3/2 = 1,5
Точка пересечения с осью Ox:
[b]A(3/2; 0)[/b]

4.Установить, является ли функция чётной или нечётной.
[m]\large y(-x) = \frac{2(-x)-3}{(-x)^3} = \frac{-2x-3}{-x^3} = \frac{2x+3}{x^3}[/m]
Не четная и не нечетная. Функция общего вида.

5.Определить, является ли функция периодической или нет.
Не периодическая

6.Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
Критические точки первого порядка - это точки, в которых y' = 0
[m]\large y' = \frac{2 \cdot x^3 - (2x - 3) \cdot 3x^2}{x^6} = 0[/m]
Сокращаем на x^2 и приводим подобные:
[m]\large \frac{2x - 3(2x - 3)}{x^4} = \frac{2x - 6x + 9}{x^4} = \frac{- 4x + 9}{x^4} = 0[/m]
-4x + 9 = 0
x = 9/4 = 2,25
И при x = 0 функция y' не существует, как и сама функция y.
При x < 0 будет y' > 0, функция возрастает.
При x ∈ (0; 9/4) будет y' > 0, функция возрастает.
При x > 9/4 будет y' < 0, функция убывает.
Значит, [b]x = 9/4[/b] - точка локального максимума.

7.Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Критические точки второго порядка - это точки, в которых y'' = 0
[m]\large y'' = \frac{-4 \cdot x^4 - (-4x + 9) \cdot 4x^3}{x^8} = 0[/m]
Сокращаем на x^3 и приводим подобные:
[m]\large \frac{-4x - 4(-4x + 9)}{x^5} = \frac{-4x + 16x - 36}{x^5} = \frac{12x - 36}{x^5} = 0[/m]
12x - 36 = 0
x = 3
И при x = 0 функция y'' не существует, как и сама функция y.
При x < 0 будет y'' > 0, график вогнутый (выпуклый вниз).
При x ∈ (0; 3) будет y'' < 0, график выпуклый (выпуклый вверх).
При x > 3 будет y'' > 0, график вогнутый (выпуклый вниз).
Значит, [b]x = 3[/b] - точка перегиба.

8.Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Наклонные асимптоты имеют вид:
f(x) = k*x + b, где:
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2x-3}{x^4} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2/x^3\ -\ 3/x^4}{1} = \frac{0 - 0}{1} = 0[/m]
[m]b = \lim \limits_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim \limits_{x \to \infty} \Big (\frac{2x-3}{x^3} - 0 \Big ) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2/x^2\ -\ 3/x^3}{1} = \frac{0 - 0}{1} = 0[/m]
Горизонтальная асимптота [b]f(x) = 0[/b], то есть ось Ox.

9.Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
Локальный максимум:
[m]y(\frac{9}{4}) = \frac{2(9/4)-3}{(9/4)^3} = (\frac{9}{2} - 3) : \frac{9^3}{4^3}= \frac{3}{2} : \frac{3^6}{2^6} = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}[/m]
Точка B(9/4; 32/243)
Точка перегиба:
[m]y(3) = \frac{2 \cdot 3-3}{3^3} = \frac{3}{3^3} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}[/m]
Точка C(3; 1/9)

10.Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
График на рисунке. Точки пересечения с осями, максимума и перегиба - отмечены.

1) Угол между плоскостями равен углу в равностороннем треугольнике в основании призмы.
Ответ: 60°.
2) Угол между основанием и боковой гранью - прямой.
Ответ: 90°
3) Угол между плоскостями равен углу между медианами из А и из А1, они же высоты и биссектрисы, треугольников ABC и A1BC.
(ABC; A1BC) = (AM; A1M).
Чтобы его найти, найдем медиану AM:
AM = AB*√3/2 = 1*√3/2 = √3/2
АА1 = 1 по условию.
Треугольник AA1M - прямоугольный.
tg AMA1 = AA1 : AM = 1 : (√3/2) = 2/√3 = 2√3/3.
Ответ: arctg (2√3/3)
4) Угол между этими плоскостями равен углу между диагоналями AB1 и A1B.
Так как все ребра призмы равны 1, то грань AA1B1B - квадрат.
Угол между диагоналями квадрата - прямой.
Ответ: 90°
5) Угол между плоскостями равен углу между медианами из С, они же высоты и биссектрисы, треугольников ACB и A1CB1.
(ACB; A1CB1) = (CM; CM1).
Треугольник CMM1 - прямоугольный.
CM = √3/2, это мы уже знаем из п. 3).
MM1 = AA1 = 1 по условию.
tg MCM1 = MM1 : CM = 1 : (√3/2) = 2√3/3
Как и в номере 3).
Ответ: arctg (2√3/3)

1) Перенесем плоскость AFF1 параллельным переносом в плоскость BB1E1.
Угол между плоскостями равен половине угла между соседними сторонами в 6-угольнике, потому что EB - биссектриса угла DEF.
Ответ: 60°
2) Это тоже самое, угол между соседними сторонами 6-угольника.
Ответ: 120°
3) Пропущено.
4) Угол между этими плоскостями равен углу между стороной и диагональю 6-угольника.
Он прямой.
Ответ: 90°.
5) Угол между этими плоскостями равен углу между двумя диагоналями 6-угольника.
Если достроить третью плоскость CEE1C1, то в основании получится равносторонний треугольник ACE.
Угол в равностороннем треугольнике известен.
Ответ: 60°

1) Смотрите Рисунок 1.
Есть 4-угольная пирамида ABCDM с квадратом в основании.
Сторона квадрата AB = 2 см, диагональ AC = 2sqrt(2) см.
Треугольник AOM - прямоугольный, катет AM = 3 см по условию.
Катет AO = AC/2 = 2sqrt(2)/2 = sqrt(2) см.
Расстояние от точки M до вершин квадрата по теореме Пифагора:
AM = sqrt(OM^2 + AO^2) = sqrt(3^2 + sqrt(2)^2) = sqrt(9 + 2) = sqrt(11) см.
Ответ: AM = sqrt(11) см.

2) Смотрите рисунок 2.
Есть треугольная пирамида ABCE с равносторонним тр-ком в основании.
AB = BC = AC = 6 см, AE = 3 см, ребро AE перпендикулярно плоскости ABC.
Треугольник ABE - прямоугольный, по теореме Пифагора:
BE = sqrt(AB^2 + AE^2) = sqrt(6^2 + 3^2) = sqrt(36 + 9) = sqrt(45)
Треугольник ACE такой же, как ABE, поэтому:
CE = BE = sqrt(45)
Треугольник BCE - равнобедренный, поэтому EM - медиана и высота.
Длина отрезка AM - это и есть расстояние от точки A до прямой BC.
AM - медиана и высота равностороннего треугольника ABC.
AM = a*sqrt(3)/2 = 6*sqrt(3)/2 = 3*sqrt(3) см.
А длина EM - это расстояние от точки E до прямой BC.
По теореме Пифагора опять же:
EM = sqrt(BE^2 - BM^2) = sqrt(sqrt(45)^2 - (6/2)^2) = sqrt(45 - 9) = sqrt(36) = 6 см
Ответ: AM = 3*sqrt(3) см, EM = 6 см.