Дано: Три полукруга вписаны в прямоугольный треугольник так, как показано на рисунке.
Два больших полукруга имеют одинаковые радиусы R.
Радиус маленького полукруга (красного) r = 10.
Найти: Радиус R больших полукругов.
Я не требую решить всю задачу, она наверняка олимпиадная, и с ней мало кто справится.
Вопрос в другом. Можно ли хотя бы найти стороны треугольника?
Чертёжи прилагаются. По сути ABCD - это треугольная пирамида.
При построении важен порядок рисования. Смотрите Рис. 1.
Сначала рисуем треугольник ABC, потом точку D, равноудалённую от всех вершин треугольника.
Это означает, что точка D находится вертикально над центром описанной окружности треугольника.
А центр описанной окружности прямоугольного треугольника - это точка P, середина гипотенузы AB.
Точку M ставим по условию: расстояние CM = 2*MD. Потом рисуем MO вертикально вниз.
Точка O находится на пересечении высоты MO и медианы треугольника CP.
Проводим отрезок AO и тянем его дальше до пересечения с ребром BC. Получили точку K.
И наконец строим отрезок MK. В итоге получили вертикальную плоскость AMK, показанную красным.
Теперь решаем задачу. Нам надо найти отношение BK : KC.
Заметим, что CPD - прямоугольный треугольник. Смотрите Рис. 2. Там CPD изображен отдельно.
Так как CM : MD = 2 : 1, то треугольники CPD и COM подобны с коэффициентом 3 : 2.
Значит, CO : OP = 2 : 1.
На Рис. 3 изображено основание ABC.
Точка O, которая делит медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника - это точка пересечения медиан.
Она же является так называемым центром тяжести треугольника.
Значит, AK - это тоже медиана треугольника ABC.
Таким образом, мы доказали, что точка K делит катет BC ровно пополам.
Так как вопрос не задан, то я могу только нарисовать чертеж.
Два смежных угла в сумме дают 180 гр., а разность между ними равна 30 гр. по условию.
Это значит, что AOC = 75 гр, BOC = 105 гр.
Кроме того, сказано, что лучи OC и OK лежат в разных плоскостях.
Но сама фраза "смежные углы" говорит о том, что точки A, B, C, O все лежат в одной плоскости.
Угол COK показан 90 гр, но при этом луч OK лежит в другой плоскости, чем точки A, B, C.
Хотя на картинке это не видно.
4^{x} + 3^{x + 1/2} = 3^{x + 3/2} - 7 \cdot 2^{2x-1}
Объединим выражения с одинаковыми основаниями. Пусть будет слева 4, справа 3. 4^{x} + 7 \cdot 2^{2x} \cdot 2^{-1} = 3^{x + 1/2 + 1} - 3^{x + 1/2} 4^{x} + 7 \cdot 4^{x} \cdot 1/2 = 3^{x + 1/2} \cdot 3 - 3^{x + 1/2} 4^{x} \cdot (1 + 7/2) = 3^{x + 1/2} \cdot (3 - 1) 4^{x} \cdot 9/2 = 3^{x + 1/2} \cdot 2
Разделим обе части на 9 и на 2. 4^{x} \cdot 1/4 = 3^{x + 1/2} \cdot 1/9 4^{x} \cdot 1/4 = 3^{x} \cdot 3^{1/2} \cdot 3^{-2} 4^{x} \cdot 1/4 = 3^{x} \cdot 3^{-3/2} \frac{4^{x}}{3^{x}} = \frac{4}{3^{3/2}}
Возведём обе части в квадрат: \frac{16^{x}}{9^{x}} = \frac{16}{3^{3}} (\frac{16}{9})^{x} = \frac{16}{27} x = \log_{16/9} \frac{16}{27}
Удобнее будет, если обе дроби будут больше 1.
Но, если дробь под логарифмом перевернуть, то сам логарифм поменяет знак: x = -\log_{16/9} \frac{27}{16} x = -\frac{\lg (27/16)}{\lg (16/9)}
Вторая задача. 3^{x^{2-4}} = (\frac{1}{3})^{1-x}
Во-первых, 2 - 4 = -2, зачем писать 2-4, непонятно.
Может быть, там что-то пропущено или неправильно?
Во-вторых, если дробь в основании перевернуть, то в показателе степени меняется знак. (\frac{1}{3})^{1-x} = 3^{x-1}
Получаем: 3^{x^{-2}} = 3^{x-1}
Степени равны, основания одинаковы, значит, и показатели равны. x^{-2} = x - 1 \frac{1}{x^2} = x - 1
Умножаем всё уравнение на x^2, не равный 0. 1 = x^3 - x^2
x^3 - x^2 - 1 = 0
Это уравнение имеет один иррациональный корень. x\approx 1,4656
Найти его можно с помощью формулы Кардано, других способов нет.
Возьмем Михаила и поставим его в сторону. Считаем, что мы его выбрали.
Теперь нам нужно выбрать к нему пару из оставшихся 5 человек.
Один из этих пяти - Олег. Вероятность, что мы выберем Олега в пару к Михаилу:
p = 1/5 = 0,2
Объем цилиндра, то есть объем жидкости в цилиндрическом сосуде, можно вычислить по формуле: V=\pi \cdot R^{2}\cdot H
Здесь высота жидкости H = 16 см.
Если радиус станет вдвое больше, то есть R1 = 2R, то объем получится такой: V1=\pi \cdot (2R)^{2}\cdot h=\pi \cdot 4R^2\cdot h
Новую высоту я обозначил h. Ясно, что h < H.
Как видим, в формуле появился коэффициент 4.
Если бы высота осталась той же H, то объем стал бы в 4 раза больше.
Но жидкость та же самая, и ее объем не изменился:
V1 = V
Значит, новая высота должна стать в 4 раза меньше, чтобы компенсировать этот коэффициент.
h = H/4 = 16/4 = 4 см
Ответ: 4 см.
Результаты в классе А: 111, 111, 116, 98, 121, 109, 119, 110, 123, 109, 122, 105, 90, 109, 92.
Средний арифметический балл: (111+111+116+98+121+109+119+110+123+109+122+105+90+109+92)/15 = 109,67
Результаты в классе Б: 129, 87, 99, 107, 100, 109, 130, 131, 112, 106, 118, 105, 95.
Средний арифметический балл: (129+87+99+107+100+109+130+131+112+106+118+105+95)/13 = 109,85
Ответ: Да, можно утверждать, что показатели существенно не отличаются.
Смотрите рисунок.
Прямую BB1 я показал синим цветом, а плоскость ADC1 красным.
Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямыми BB1 и AB1 (диагональю грани).
Этот угол равен 45 градусов.
Точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение - это точки экстремумов.
В этих точках производная равна 0.
Причем, если знак производной меняется с плюса на минус, то это наибольшее значение.
А если знак производной меняется с минуса на плюс, то это наименьшее значение.
У нас на рисунке показан график производной f'(x), на котором видно, что при x = -3 значение производной равно 0.
Причем слева от -3 производная положительна, а справа от -3 она отрицательна.
Это означает, что при x = -3 функция y = f(x) принимает наибольшее значение.
Ответ: -3
Обозначим x концентрацию 1 раствора и y концентрацию 2 раствора.
В 100 кг 1 раствора содержится ровно x кг кислоты.
В 60 кг 2 раствора содержится 0,6y кг кислоты.
Если их смешать, то получится 160 кг раствора, содержащего x + 0,6y кг кислоты.
И это составляет концентрацию 27%.
(x + 0,6y)/160 = 0,27
x + 0,6y = 160*0,27
x + 0,6y = 43,2
Теперь возьмем равные массы растворов, например, по 10 кг.
В 10 кг 1 раствора содержится 0,1x кислоты.
В 10 кг 2 раствора содержится 0,1y кислоты.
Если их смешать, то получится 20 кг раствора, в которых содержится 0,1x + 0,1y кг кислоты.
И это составляет концентрацию 32%.
(0,1x + 0,1y)/20 = 0,32
0,1x + 0,1y = 20*0,32
0,1x + 0,1y = 6,4
x + y = 64
Составляем систему:
x + y = 64
x + 0,6y = 43,2
Вычитаем из 1 уравнения 2 уравнение.
y - 0,6y = 64 - 43,2
0,4y = 20,8
y = 52% - это концентрация 2 раствора.
Подставляем в любое уравнение:
x + 52 = 64
x = 64 - 52
x = 12% - это концентрация 1 раствора.
Но вопрос был: сколько килограмм кислоты содержится в первом сосуде?
Так как масса раствора в первом сосуде равна M1 = 100 кг, а концентрация p1 = 12%, то масса кислоты:
m1 = M1*p1 = 100*0,12 = 12 кг
Наша задача - вычислить коэффициенты a, k, b.
Первая функция: y = a \cdot \sqrt{x}, которая проходит через точку (4; -3). Подставляем координаты в функцию: -3=a \cdot \sqrt{4} -3=2a a=-3/2
Получается функция: y = -3/2 \cdot \sqrt{x}
Вторая функция: y = kx + b, которая проходит через точки (3; 2) и (6; 1). Подставляем координаты два раза:
2 = k*3 + b
1 = k*6 + b
Решаем систему уравнений. Из 2 уравнения вычитаем 1 уравнение.
-1 = k*3
k = -1/3
Подставляем в уравнение:
2 = -1/3*3 + b
b = 2 + 1
b = 3
Вторая функция: y = -x/3 + 3
Теперь нам остается составить уравнение из этих двух функций, приравняв правые части. -3/2 \cdot \sqrt{x} = -x/3 + 3
Умножаем всё на -6: 9 \cdot \sqrt{x} = 2x - 18
Возводим в квадрат обе части:
81x = 4x^2 - 72x + 324
4x^2 - 153x + 324 = 0 D = (-153)^2 - 4\cdot 4\cdot 324 = 23409-5184=18225
Нас интересует только положительное x: x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{153+\sqrt{18225}}{8}=\frac{153+135}{8}=36
Ответ: 36
Есть небольшая разница между понятиями "неположительна" и "отрицательна".
Производная отрицательна, когда функция убывает, и это действительно точки x6 и x7.
Но если производная неположительна, то также подходят точки, в которых она равна 0.
Это точки экстремумов или точки, где функция постоянна.
К счастью, таких точек среди отмеченных нет, поэтому ответ в итоге правильный: x6 и x7.
Но разница в понятиях всё же есть.
