exponenta

а)
Задача на теорему косинусов
Удвоим СМ и достроим треугольник АВС до параллелограмма.
АС=b; BC=a
По свойству диагоналей и сторон параллелограмма
АВ^2+(2CM)^2=2a^2+2B^2 (#1)

По теореме косинусов из треугольника АВС

АВ^2=a^2+b^2-2ab* cos ACB (# 2)

По теореме косинусов из треугольника LCQ

LQ^2=a^2+b^2-2ab* cos (180-ACB) (# 3)


Складываем (#2) и (#3)

AB^2+ LQ^2=2a^2+2b^2 ( так как cos ACB=- cos (180-ACB) )

Из (#1) получим

AB^2+(2CM)^2=AB^2+LQ^2
(2CM)^2=LQ^2
2CM=LQ

б)
Найти МО
О- центр квадрата АКLC

OC=7 sqrt(2)
MC=(1/2)LQ

LQ^2=14^2+16^2-2*14*16*cos30

Из a)
AB^2+(LQ)^2=2*(a^2+b^2)

AB^2+(2CM)^2=2*(14^2+16^2)

(2AM)^2+(2CM)^2=2*(14^2+16^2)
4AM^2+4CM^2=2*(196+256)

AM^2+CM^2=226

Угол ВCO=150 градусов + 45 градусов =195 градусов > 180 градусов

1) (1/30)+(1/42)= приводим дроби к общему знаменателю

30=5*[b]6[/b]
42=[b]6[/b]*7

Общий знаменатель 5*[b]6[/b]*7=210

(1/30)=7/210 ( умножили и числитель и знаменатель на 7)
(1/42)=5/210 ( умножили и числитель и знаменатель на 5)

Складываем дроби с одинаковым знаменателем:

(1/30)+(1/42)=(7/210)+(5/210)=12/210=2/35 ( сократили дробь на 6: (12:6)/(210:6) )


1/( (1/30)+(1/42))=1/(2/35)=1:(2/35)=1*(35/2)=[b]17,5[/b]

Три плоскости:
y=x;
x+y=2;
z=0

образуют два трехгранных угла:
один на рисунке, выделен черными лучами, второй смежный с ним ( один луч пунктиром продолжен)

Бабушка МУРАВЕЙ Д.К.

Из Δ POD:

OD^2=7^2-3^2=40

Δ DON- прямоугольный равнобедренный ( АВСD- квадрат)

ON^2+DN^2=OD^2

ON=DN=sqrt(20)=2sqrt(5)

Δ PON

PN^2=PO^2+ON^2=3^2+(2sqrt(5))^2=29

PN=sqrt(29)

Δ MPN - равнобедренный

PN=PM=sqrt(29)

MN=2ON=4sqrt(5)

S_( Δ MPN )=(1/2)MN*PO=(1/2)4sqrt(5)*3=6sqrt(5)

S_( Δ MPN )=p*R

R=S_( Δ MPN )/p

p=(1/2)(MN+PM+PN)=(1/2)*(4sqrt(5)+sqrt(29)+sqrt(29))=2sqrt(5)+sqrt(29)


R=6sqrt(5)/(2sqrt(5)+sqrt(29))

R^2=36*5/(2sqrt(5)+sqrt(29)^2=180/(20+4sqrt(145)+29)=180/(4sqrt(145)+49)=180*(49-4sqrt(5))/49^2-16*145)=180*(49-4sqrt(145))/81

S_(сферы)=4*π* R^2=4*π*180*(49-4sqrt(145))/81=80*π*(49-4sqrt(145))/9

Дуга лежит на параболе

[m]y^2=4x [/m]

Одна ветвь параболы [m]y= - \sqrt{4x} [/m]; другая ветвь [m]y= \sqrt{4x} [/m]
Точки
О(0;0) и B(1;2) принадлежат ветви [m]y= sqrt{4x} [/m]

или

[m]y= 2\sqrt{x} [/m]

Находим

[m]y=2\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x}}[/m]

[m]=\frac{1}{\sqrt{x}}[/m]

найдем

[m]\sqrt{1+(y)^2}=\sqrt{1+(\frac{1}{\sqrt{x}})^2}=\sqrt{1+\frac{1}{x}}=\sqrt{\frac{x+1}{x}}[/m]


[m]l= ∫ ^{1}_{0}\sqrt{\frac{x+1}{x}}dx[/m]

Проводим B_(1)С_(1) || А_(1)D_(1)



Через две пересекающиеся прямые АB_(1) и В_(1)С_(1) проходит сечение АB_(1) C_(1)D

Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости параллелепипеда [i]по параллельным прямым[/i]

Для этого проводим C_(1)D|| АB_(1)

и

AD ||А_(1)D_(1)|| В_(1)С_(1)

Проводим А_(1)С_(1) || AC

Через две пересекающиеся прямые А_(1)D_(1) и А_(1)С_(1) проходит плоскость А_(1)B_(1) C_(1)D_(1)

X- количество проверенных телевизоров до появления бракованного.

X принимает значения: 1;2;3;4

p=0,2 - вероятность брака для одного

q=1-p=1-0,2=0,8 =вероятность небракованного телевизора

Решаем четыре задачи

X=1

Проверен один телевизор. Он бракованный

Находим вероятность этого события.

p_(1)=0,2


X=2

Проверено два телевизора. Один небракованный, второй неисправный

Находим вероятность этого события.


p_(2)=0,8*0,2=0,16


X=3

Проверено три телевизора. Два небракованных, третий неисправный

Находим вероятность этого события.

p_(3)=0,8*0.8*0,2=0,128


X=4

Проверено четыре телевизора. Три небракованных, четвертый неисправный или все четыре небракованные


Находим вероятность этого события.

p_(4)=0,8*0.8*0,8*0,2+0,8*0,8*0,8*0,8=0,1024+0,4096=0,512

Так как

p_(1)+p_(2)+p_(3)+(4)=1

все вычислено верно



Закон это таблица.

В верхней строке значения :1;2;3;4;

В нижней строке соответствующие вероятности: p(1);p_(2);p_(3);p_(4)

( см. скрин 1)

Функция распределения случайной величины Х:


[m]F(x)=\left\{\begin {matrix}0, x ≤ 1\\p_{1}, 1 <x ≤ 2\\p_{1}+p_{2},2< x ≤35\\p_{1}+p_{2}+p_{3}, 3 < x ≤ 4,\\p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}= 1, x > 4\end {matrix}\right.[/m]


[m]F(x)=\left\{\begin {matrix}0, x ≤ 1\\0,2; 1 <x ≤ 2\\0,36;2< x ≤ 3\\ 0,488; 3< x ≤ 4,\\ 1, x > 4\end {matrix}\right.[/m]

График - ступенчатая функция ( cм скрин 2)


3)

По определению математическое ожидание

M(X)=1*p_(1)+2*p_(2)+3*p_(3)+4*p_(4)=1*0,2+2*0,16+3*0,128+4*0,512=0,2+0,32+0,384+2,048=2,952


Дисперсию вычисляем по формуле:

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2


M(X^2)=1^2*p_(1)+2^2*p_(2)+3^2*p_(3)+4^2*p_(4)=1*0,2+2^2*0,16+3^2*0,128+4^2*0,512=0,2+0,64+1,152+8,192=10.184


D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=10,184-2,952^2=10,184-8,714304=1,469696

sin^22x+sin2x=0

sin2x*(sin2x+1)=0

sin2x=0 или sin2x+1=0

1)sin2x=0
2x=πk, k ∈ Z
[b]x=(π/2)k, k ∈ Z[/b]

В градусах

..-360 ° ; -270 ° ;-180 ° ;-90 ° ; 0 ° ; 90 ° ; 180 ° ; 270 ° ; 360 ° ; ...

2)sin2x+1=0
sin2x=-1
2x=-(π/2)+2πn, n ∈ Z
[b]x=-π /4+πk, n ∈ Z[/b]

в градусах

... ;-225 ° ; -45 ° ; 135 ° ; 315 ° : ...

Сумма корней:

Складываем любое число из первой серии и любое число из второй серии

-360 ° +(-225 ° )=

-360 ° +(-45 ° )=

и так далее

Строим графики границы каждой области:

a=4/(x-1) (гипербола, график синего цвета)
a=2sqrt((x-2))( график красного цвета)
a=3x-14 - прямая ( график сиреневого цвета)

Заштриховываем области, удовлетворяющие неравенствам.

Находим пересечение этих областей.

Проводим полосу с помощью прямых
х=4 и х=5

Ответ на оси а

а ∈ (1; 2sqrt(3)]

12.12

АН ⊥ СD ⇒ MH ⊥ CD ( gпо теореме о трех перпендикулярах)

MH-[i]расстояние[/i] от М до CD


АН ⊥ СD

Δ AHD-[b] прямоугольный[/b]

∠ ADH= ∠ BAD=30 ° ⇒

AH=5( катет против угла 30 ° равен половине гипотенузы)

MA ⊥ пл АВСD

Δ MAH-[b] прямоугольный[/b]

По теореме Пифагора

MH^2=MA^2+AH^2=(5sqrt(5)^2+5^2=75=25=100

[b]MH=10[/b]


12.13

АН ⊥ BС ⇒ DH ⊥ BC ( gпо теореме о трех перпендикулярах)

DH- [i]расстояние[/i] от D до BC.

DH=2sqrt(43)


АН ⊥ BС

Δ ABH-[b] прямоугольный[/b]

AB=14
∠ ABH= 60 ° ⇒

AH=7sqrt(3)

DA ⊥ пл АВС

Δ DAH-[b] прямоугольный[/b]

По теореме Пифагора

DA^2=DH^2-AH^2=(2sqrt(43)^2-(7sqrt(3))^2=4*43-49*3=172-147=25

[b]MA=5[/b]

18.[b]Замена переменной
[/b]

[m]x=4 sint[/m]

тогда

[m]dx=(4 sint) dt=4cost dt[/m]

получим

[m] ∫ \frac{4cost }{(\sqrt(16-16sin^2t)^3)}dt= ∫ \frac{4cost }{64(\sqrt(1-sin^2t)^3)}dt= ∫ \frac{4cost }{64(cos^3t)}dt=\frac{1}{16} ∫ \frac{1}{cos^2t}dt=\frac{1}{16}tgt +C[/m]

[m]x=4 sint ⇒ sint=\frac{x}{4} ⇒cost=\sqrt{1-sin^2t}=\sqrt{1-(\frac{x}{4})^2}=\frac{\sqrt{16-x^2}}{4}[/m]

Так как

[m]tgt=\frac{sint}{cost}=\frac{\frac{x}{4}}{\frac{\sqrt{16-x^2}}{4}}=\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}[/m]

получаем ответ

[m]\frac{1}{16}\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}+C[/m]

19.[b]Замена переменной
[/b]
[m]x=t^6[/m]

тогда

[m] dx=(t^6)dt=6t^5dt[/m]

[m]\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{t^6}=t^2[/m]

[m]\sqrt{x}=\sqrt{t^6}=t^3[/m]

получим интеграл:

[m]∫\frac{6t^5}{t^2+t^3}dt= 6∫\frac{t^5}{t^2(1+t)}dt= 6∫\frac{t^3}{1+t}dt= [/m]

Под знаком интеграла[b] [i]неправильная дробь[/i][/b], выделяем[b] целую часть[/b] ( для этого прибавляем к числителю 1 и вычитаем 1 и почленно делим):

[m]6∫\frac{t^3}{1+t}dt=∫\frac{t^3+1-1}{1+t}dt=6∫(\frac{t^3+1}{1+t}-\frac{1}{1+t})dt=6 ∫t^2-t+1+\frac{1}{t+1})dt=[/m]

[m]=6(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t-ln|t+1|)+C=2t^3-3t^2+6t-6ln|1+t|+C [/m]


обратный переход к переменной х:[m]x=t^6[/m] ⇒ [m]t=\sqrt[6]{x}[/m]; [m]t^3=\sqrt{x}[/m];[m]t^2=\sqrt[3]{x}[/m];

получаем ответ:

[m]2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6ln|1+\sqrt[6]{x}|+C [/m]

Решение аналогичной задачи см здесь

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=79774



Ответ от нейросети
Расположим параллелепипед в прямоугольной системе координат:

A(0,0,0),
B(6,0,0),
D(0,3,0),
C(6,3,0);

высота AA₁ = 4√2, поэтому
A₁(0,0,4√2), B₁(6,0,4√2), C₁(6,3,4√2), D₁(0,3,4√2).

Точка F – середина A₁B₁:
F(3,0,4√2).

Направляющие векторы нужных прямых:

CC₁ : v₁ = C₁ – C = (0,0,4√2),
DF : v₂ = F – D = (3, −3, 4√2).

Скалярное произведение:
v₁·v₂ = 0·3 + 0·(−3) + (4√2)(4√2) = 32.

Векторное произведение:

v₁ × v₂ = (0,0,4√2) × (3,−3,4√2)
= (12√2, 12√2, 0),

его длина |v₁ × v₂| = √[(12√2)² + (12√2)²] = √(288+288) = 24.

Тогда

tan ∠(CC₁, DF) = |v₁ × v₂| / (v₁·v₂) = 24 / 32 = 3/4.

Ответ: 3/4

[m]\left\{\begin {matrix}|x|+log_{4}(y^2+1)=2\\log_{2}(x+2a)+2|y|=2\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}|x|=2-log_{4}(y^2+1)\\|y|=1-log_{4}(x+2a)\end {matrix}\right.[/m]

Так как |x| ≥ 0 и |y| ≥ 0

[m]\left\{\begin {matrix}2-log_{4}(y^2+1) ≥0 \\1-log_{4}(x+2a) ≥ 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒

[m]\left\{\begin {matrix}log_{4}(y^2+1) ≤ 2 \\log_{4}(x+2a) ≤ 1\end {matrix}\right.[/m] ⇒

[m]\left\{\begin {matrix}y^2+1 ≤ 16 \\log_{4}(x+2a) ≤ 1\end {matrix}\right.[/m]


Так как [m]y^2 ≤ 15[/m] ⇒ [m]|y| ≤ \sqrt{15}[/m] ⇒ тогда [m]1-log_{4}(x+2a) ≤ \sqrt{15}[/m] ⇒ [m]log_{4}(x+2a) ≥ 1- \sqrt{15}[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}y^2 ≤ 15 \\1-\sqrt{15} ≤ log_{4}(x+2a) ≤ 1\end {matrix}\right.[/m]

Так как [m]1 ≤ y^2+1≤ 16[/m], то [m] log_{4}1≤ log_{4}(y^2+1) ≤log_{4}16[/m] ⇒ [m]0 ≤ log_{4}(y^2+1) ≤ 2[/m] ⇒


[m]|x|=2-log_{4}(y^2+1) [/m] и тогда [m]0 ≤ |x| ≤ 2[/m] ⇒[red] [m]-2 ≤ x ≤ 2[/m][/red]

Исследуем на указанных промежутках и строим графики логарифмических функций
1)[m]x=2-log_{4}(y^2+1)[/m]

[b]Производная в помощь[/b] (!!!)


Затем учитывая , что[red] [m]-2 ≤ x ≤ 2[/m][/red]

[m]|x|=2-log_{4}(y^2+1)[/m] строим ( [b]схематически [/b]) график этой функции по модулю... получим график ( см. рис. 2)


То же самое
с функцией
[m]|y|=1-log_{4}(x+2a)[/m]

только при разных значениях а

а=1

а=-1

и тд. понимаем как "бегает" кривая по оси Ох

Из графических соображений понимаем, что единственная общая точка

при x=-2; y=0


значит

[m]|0|=1-log_{4}(-2+2a)[/m]

-2+2а=4


2а=6


a=3


Важно!

Один график не изменяется, а вторая кривая двигается влево - вправо...