#Всеросийская

Натуральное число N представляется в виде N = a1-a2 = b1-b2 = c1-c2 = d1-d2, где a1 и a2 - квадраты, b1 и b2 - кубы, c1 и c2 - пятые степени, а d1 и d2 - седьмые степени натуральных числе. Обязательно ли среди чисел a1, b1, c1 и d2 найдутся два разных?

(А. С. Голованов)

По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

(Н. Власова)

В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер — красного цвета, а остальные — зеленого. Каждую точку касания красной и зеленой сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

(А. Кузнецов)

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A) таких, что a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества действительных чисел.

(Н. Агаханов)

Есть клетчатая доска 2015 х 2015. Дима ставит в k клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500 х 1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем k Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?

(О. Дмитриев, Р. Женодаров)

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к окружности Ω, описанной около треугольника ABC, пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к окружности Г, описанной около треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

(А. Кузнецов)

Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию xyz больше или равно xy+yz+zx. Докажите неравенство sqrt(xyz) больше или равно sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z)

(А. Храбров)

Квадратный трёхчлен f(x) = ax^2 + bx + c, не имеющий корней, таков, что коэффициент b рационален, а среди чисел c и f(c) ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трехчлена f(x) быть рациональным?

(Г. Жуков)

Каждая клетка таблицы размером 7 x 8 (7 строк и 8 столбцов) покрашена в один из трех цветов: красный, желтый или зеленый. При этом в каждой строке красных клеток не меньше, чем желтых и не меньше, чем зеленых, а в каждом столбце желтых клеток не меньше, чем красных и не меньше, чем зеленых. Сколько зеленых клеток может быть в такой таблице?

Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?

Решите неравенство sin(x/(x^2)+1) + ((x^2+1)/x)*cos(x/(x^2+1) > 0

В квадрате ABCD точки E и F — середины сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE и BF пересекаются в точке G. Что больше: площадь треугольника AGF или площадь четырехугольника GECF?

Существуют ли такие целые числа p и q, что при любых целых значениях x выражение x^2 + px + q кратно 3?

Существует ли такое натуральное число n, большее 1, что значение выражения (на картинке) является натуральным числом?

В турнире по шашкам участвовали ученики 10 и 11 классов. Каждый сыграл с каждым один раз. За победу участник получал 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Одиннадцатиклассников было в 10 раз больше, чем десятиклассников, и они вместе набрали в 4,5 раза больше очков, нежели все десятиклассники. Сколько очков набрал самый успешный десятиклассник?

Петя на ребре AB куба ABCDA1B1C1D1 отметил точку X, делящую ребро AB в отношении 1 : 2, считая от вершины A. Приведите пример, как Петя может отметить на рёбрах CC1 и A1D1 соответственно точки Y и Z, чтобы треугольник XYZ был равносторонним. Пример обоснуйте.

Учительница Мария Ивановна готовит задания для урока математики. Она хочет в уравнении 1/(x+a) + 1/(x+b) = 1/c вместо а, b и c поставить три различных натуральных числа, чтобы корни уравнения были целыми числами. Помогите ей: подберите такие числа и решите уравнение.

Может ли сумма 2015 последовательных натуральных чисел оканчиваться той же цифрой, что и сумма следующих 2019 чисел?

Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел а и b, больших 1, удовлетворяющих уравнению a^(13)*b^(31)=6^(2015)

За лето однокомнатная квартира подорожала на 21 %, двухкомнатная — на 11 %, а суммарная стоимость квартир — на 15 %. Во сколько раз однокомнатная квартира дешевле двухкомнатной?