#oge: 25

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников АОВ и COD равны.

Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках К и L, причём точки Р и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.

Сторона АВ параллелограмма ABCD вдвое больше стороны ВС. Точка N - середина стороны АВ. Докажите, что CN — биссектриса угла BCD.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и САВ также равны.

Высоты АА1 и CC1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите, что углы АА1С1 и АСС1 равны.

Дан правильный восьмиугольник ABCDEFKM. Докажите, что прямые СЕ и АК параллельны.

Сторона АВ треугольника АВС является диаметром окружности с центром О. Стороны АС и ВС пересекают эту окружность соответственно в точках К и М. Докажите, что угол САМ = угол СВК.

Дан выпуклый четырёхугольник АВСD. На стороне АВ взяли точку F, на стороне ВС - точку G, на стороне CD - точку Н, на стороне AD - точку I. Докажите, что периметр четырехугольника FGHI меньше периметра четырёхугольника ABCD.

Дан выпуклый четырёхугольник. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного четырёхугольника является параллелограммом.

Докажите, что при пересечении биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, образуются прямые углы.

Докажите, что высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.

Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M стороны AD. Докажите, что M — середина AD.

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 16 и 12.

Высоты ВВ1 и СС1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы ВВ1С1и ВСС равны.

Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС (AD > ВС) и боковыми сторонами АВ и CD диагональ АС является биссектрисой угла А. Докажите, что DB является биссектрисой угла D.

В параллелограмме ABCD точка К — середина стороны DC (см. рис. 170). Докажите, что площадь треугольника КВС составляет 1/4 площади параллелограмма ABCD.

В выпуклом четырехугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны

Стороны угла Е пересечены параллельными прямыми MN и КР (см. рис. 159). Докажите, что ЕМ/MK=EN/NP.