#Математика Часть II-16

В равнобедренной трапеции ABCD AD BC, AD = 21, AB = 10, BC = 9. Диагонали AC и BD разбивают трапецию на четыре перекрывающихся треугольника DAB, ABC, BCD, CDA. В каждый треугольник вписаны окружности w1, w2, w3, w4 соответственно, центры которых расположены в точках O1, O2, O3, O4.

а) Докажите, что четырёхугольник O1O2O3O4 — прямоугольник.

б) Найдите длину O2O3.

Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность со, описанную вокруг треугольника АВН, в точке К.

а) Докажите, что ВА - биссектриса угла КВС.

б) Отрезок ВС пересекает окружность w в точке Е. Найдите BE, если АС = 12.

Биссектриса CL угла C треугольника ABC делит пополам угол между медианой CM и высотой CH, проведёнными из той же вершины.

а) Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.

б) Найдите углы треугольника ABC, если S_(CHL)/S_(CHM) = 1/3

Решите неравенства (5^(2x)-3*5^x-25)/(5^x-5) + (3*5^(2x)-14*5^x+45)/(5^(2x)-8*5^x+15) меньше или равно 5^x+5

Дан треугольник ABC, в котором расположены три равные окружности ω_(1), ω_(2), ω_(3), с центрами в точках I_(1), I_(2), I_(3), проходящие через общую точку T. Окружность ω_(1) касается сторон AB и AC, окружность ω_(2) касается сторон BA и BC, окружность ω_(3) касается сторон CB и CA. Обозначим I — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, а O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что точки I, T, O лежат на одной прямой.

б) Найдите радиус трёх равных окружностей, если стороны треугольника ABC соответственно равны 13, 14, 15.

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD, равными соответственно а и c, c < а, боковая сторона BC перпендикулярна основаниям и равна b. Из точки P стороны AD, делящей её так, что AP : PD = n : m, n > = m, к этой стороне проведён перпендикуляр, пересекающий сторону BC в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника APQB, PQCD

А) Докажите, что сумма углов А, В, С, D, E в вершинах произвольной 5-конечной звезды равна 180 градусов (рис.1).

Б) Найдите площадь 5-конечной звезды, вершины которой совпадают с пятью вершинами правильного шестиугольника, если известно, что сторона последнего равна 6 (рис.2).

Ларин 16) Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=KO.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 0,09 площади трапеции ABCD.

В параллелограмме ABCD точка Е - середина стороны АD. Отрезок ВЕ пересекает диагональ АС в точке Р. АB=PD.

а) Докажите, что отрезок ВЕ перпендикулярен диагонали АС.

б) Найдите площадь параллелограмма, если АВ = 2 см, ВС = 3 см.

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отложен отрезок AD, равный стороне АВ. Прямая, проходящая через точку А параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке М.

а) Докажите, что AM — биссектриса угла ВАС.

б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника АВС равна 200 и известно отношение АС : АВ = 2:3.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C1 и В1 соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВС подобен треугольнику AB1C1.

б) Вычислите радиус данной окружности, если угол A = 150°, ВС = 6 и площадь треугольника AB1C1 в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.

В остроугольном треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и медиана CE, а точки K и L являются проекциями на сторону AC точек D и E соответственно, причем AK=4KC, AL=(3/7)LC.

а) Докажите, что AB=AC.

б) Найдите отношение AD:CE.

Диагонали АС и СЕ правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что АМ : АС = СN : СЕ и точки В, М и N лежат на одной прямой.

а) Докажите, что точки В, О, N и D лежат на одной окружности (точка О - центр шестиугольника)

б) Найдите отношение АМ : АС.

Дан треугольник АВС. Серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекается с биссектрисой угла ВАС в точке К, лежащей на стороне ВС.

а) Докажите, что АС^2 =ВС*СК.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АКС, если sinВ = 0,8 и сторона АС = 30.

В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ AC разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и AB.

а) Докажите, что луч DB - биссектриса угла ADC.
б) Найдите AB, если известны длины диагоналей трапеции: BD=8 и AC=5.

Дана окружность. Продолжения диаметра АВ и хорды РК пересекаются под углом 30 градусов в точке С. Известно, что СВ:АВ=1:4; АК пересекает ВР в точке Т.

А) Докажите, что АР:АТ=3:4.

Б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А, В, Р и К, если радиус окружности равен 4.

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ:В1М=1:3. Через точки М и С1 параллельно BD1 проведена плоскость бета.

А) Докажите, что плоскость бета проходит через середину ребра AA1.

Б) Найдите площадь сечения куба плоскостью бета, если известно, что АВ=12.

В треугольник АВС, в котором длина стороны АС меньше длины стороны ВС, вписана окружность с центром О. Точка В1 симметрична точке В относительно СО.

а) Докажите, что А, В, О и В1 лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырехугольника АОВВ1, если АВ=10, АС=6 и ВС=8.

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон АВ и CD в точках М и N соответственно. Известно, что АМ=8МВ и DN=2CN.

а) Докажите, что AD=4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен sqrt(6)

Окружность, вписанная в квадрат ABCD, касается его стороны АВ в точке Т, а стороны AD в точке Р. Отрезки СТ и СР пересекают окружность в точках М и N соответственно. Сторона квадрата равна sqrt(10).

а) Докажите, что прямая ТР параллельна прямой MN.

б) Найдите МР.