#Математика Часть II-14

Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD. Точки K, L, M расположены на рёбрах SA, SB, SC соответственно, и при этом

SK/SA = 1/2; SL/SB = 2/5; SM/SC = 2/3

а) Докажите, что прямые KM и LD пересекаются.

б) Найдите отношение объёма пирамиды SKLMD к объёму пирамиды SABCD.

На боковых ребрах ЕА, ЕВ, ЕС правильной четырехугольной пирамиды ABCDE расположены точки M, N, K соответственно,причем ЕМ : ЕА = 1:2, EN : ЕВ = 2 :3, ЕК : ЕС = 1:3 .

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки М, N, К

б) В каком отношении плоскость (MNK) делит объем пирамиды?

Сфера касается рёбер BS, CS, CA, AB пирамиды SABC в точках K, L, M, N соответственно.

а) Докажите, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.
б) Найдите KM, если KL = 8, LM = 8, MN = 6, NK = 4.

Сфера радиусом R = 5 касается боковых граней правильной треугольной пирамиды SABC в точках K, L, M, принадлежащих сторонам основания пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если центр сферы удалён от плоскости её основания на расстояние, равное d = 3.

Точки K, L, M расположены на ребрах SA, SB, SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD соответственно, и при этом

SK/KA = 1/2; SL/SB = 1/5; SM/SC = 1/3

а) Докажите, что плоскость (KLM) проходит через вершину D пирамиды SABCD.

б) Найдите угол между плоскостью (KLM) и плоскостью основания пирамиды (ABCD), если SA = b = 2, AB = a = 1.

14) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребре C1D1 взята точка К так, что KC1=3KD1.

А) Докажите, что плоскость АСК делит диагональ BD1 в отношении 4:1, считая от точки В.

Б) Найдите расстояние от точки D до плоскости АСК, если известно, что АВ=4, ВС=3, СС1=2.

Ларин 14) Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.

а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.

б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Боковая грань пирамиды BCD перпендикулярна основанию, BD=DC.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро ВС перпендикулярно ребру AD.

б) Найдите объём пирамиды BCMD, где М - точка пересечения ребра АD и плоскости сечения, если сторона основания пирамиды ABCD равна 8sqrt(3), а боковое ребро AD наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.

14) В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной АВ = 7 и диагональю BD = 10. Все боковые рёбра пирамиды равны 7. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости АВС.

SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки В опущен перпендикуляр ВН на плоскость SAD.

а) Докажите, что угол AHC = 90°.

б) Найдите объём пирамиды, если НА = 3 и НС = 5.

Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD, причем АМ : МD = 2 :3, ВN : АN = 1 : 2, ВК = КС.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.

б) Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

В основании прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Точка К — середина ребра А1В1, а точка М делит ребро АС в отношении AM : МС = 1:3.

а) Докажите, что КМ перпендикулярно АС.

б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВВ1, если АВ = 14, АС = 16 и АА1 = 6.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA1 равно sqrt(5). На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём CK = 2, a C1L = 1. Плоскость гамма параллельна прямой BD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости гамма.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание - сечение данной призмы плоскостью гамма.

Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB=AA1

а) Докажите, что прямые А1С и BD перпендикулярны

б) Найдите объем призмы, если А1С=BD=2.

В треугольной пирамиде PABC с основанием АВС известно, что АВ=17, РВ=10, cosPBA = 32/85. Основанием высоты этой пирамиды является точка С. Прямые РА и ВС перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный

б) Найдите объем пирамиды РАВС.

Дана правильная треугольная пирамида SABC. Её боковое ребро BS равно 9, высота SH пирамиды равна 3sqrt(5). Точка М — середина ребра ВС, а точка Т — середина отрезка SM.

а) Докажите, что АТ — высота пирамиды, проведённая к грани SBC.

б) Найдите расстояние между прямыми АТ и SB.

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD со стороной основания, равной 3, высота пирамиды равна 3sqrt(2)/2. На рёбрах АВ, CD и AS отмечены точки М, N и К соответственно, причём AM = DN = АK = 1.

а) Докажите, что плоскость MNK параллельна плоскости SBC.

б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, у которой ребро основания равно 2, а высота равна 5. Через точки А, C1 и середину Т ребра А1В1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС.

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 9 и радиусом основания 2 проведена хорда АВ, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный АВ. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую АВ, перпендикулярно прямой CD, так, что точка С и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

В основании пирамиды PABCD - трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, прямые АВ и CD пересекаются в точке К.

а) Доказать, что плоскость РАВ перпендикулярна плоскости PCD.

б) Найдите объем PKBC, если AB-BC=CD=3, а высота пирамиды PABCD равна 8.