#Физтех

ФИЗТЕЗ МАТ-10) Во время опроса 76 человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых 10 опрошенных по крайней мере 3 указали один и тот же фильм. При каком наибольшем M можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся M человек, указавших один и тот же фильм?

ФИЗТЕХ МАТ-9) На столе лежит 120 внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно 60 фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?

ФИЗТЕХ МАТ-8) Найдите наибольшее значение выражения cos(x+y+z), если числа x, y, z является решениями системы. Ответ округлите до тысячных.

ФИЗТЕХ МАТ-7) Известно, что число a удовлетворяет уравнению x^3+3x^2+6x-9=0, а число b – уравнению x^3+6x^2+15x+27=0. Найдите наименьшее возможное значение суммы a+b .

ФИЗТЕХ МАТ-6) В правильный тетраэдр KLMN с ребром 9sqrt(5) вписана сфера Ω. Куб ABCDA1B1C1D1 расположен так, что его диагональ A1C1 лежит на прямой KL, а прямая BD касается сферы Ω в точке, лежащей на отрезке BD. Какую наименьшую площадь поверхности может иметь куб ABCDA1B1C1D1? Ответ округлите до десятых.

ФИЗТЕХ МАТ-5) Известно, что для всех пар положительных чисел (x; y), для которых выполняются равенство x+y=8 и неравенство x^2+y^2 > 35, выполняется и неравенство x^5+y^5 > m. Какое наибольшее значение может принимать m?

ФИЗТЕХ МАТ-4) Дана последовательность y_(n)=n(n+1). Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами k и l (l < 157 < k) делится на 3^(12). Найдите наименьшее возможное значение суммы l+k.

ФИЗТЕХ МАТ-3) Найдите количество целочисленных решений (a; b; c) уравнения 150^(a)*(200/3)^(b)*2250^(c) = 506250, удовлетворяющих условию |a+b+c| < 91

ФИЗТЕХ МАТ-2) Внутри острого угла ABC взяты точки M и N так, что угол ABM = углу MBN = углу NBC, AM перпендикулярно BM и AN перпендикулярно BN. Прямая MN пересекает луч BC в точке K. Найдите BN, если BM=25, BK=7.

ФИЗТЕХ МАТ-1) Две параболы y=2x^2+ax+b и y=-3x^2+cx+d касаются в точке лежащей на оси Ox. Через точку D - вторую точку пересечения первой параболы с осью Ox - проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке A, а общую касательную к параболам - в точке B. Найдите отношение DA:DB.

ФИЗТЕЗ-1) Два груза связаны легкой нитью, перекинутой через неподвижный блок. Грузы движутся в поле тяжести вертикально с ускорением (2/3)g. Найти отношение масс грузов (большей к меньшей). Массой блока и трением в его оси пренебречь.

В некотором государстве 30 городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно 10 авиарейсов первой авиакомпании. Назовем тройку городов A, B, C замкнутой, если все три авиарейса AB, BC, CA осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве?

Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений:

{tgx = (20/9)cosy
{tgy = (20/9)cosz
{tgz = (20/9)cosx

Найдите наименьшее значение параметра p, для которого при всех 0 меньше или равно x меньше или равно 1, 0 меньше или равно y меньше или равно 3, 0 меньше или равно z меньше или равно 4 выполняется неравенство xyz+p больше или равно 15x+4y+3z?

Две окружности ω и Ω радиусов R=13.25 и r=9 касаются внутренним образом. Хорда AB окружности Ω касается окружности ω в точке C. Найдите длину хорды AB, если известно, что AC:BC=1:2.

Даны парабола y=10x^2 и прямая y=x-0.2 . Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, две вершины которого лежат на параболе, а две другие – на этой прямой?

Пусть (25cos^2x-29+40sinx)/(36-25sin^2x+30cosx)=6. Какое наибольшее значение может принимать 3sinx?

Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно 20^(732). Найдите количество таких прогрессий.

Известно, что для положительных чисел a, b, c каждое из трех уравнений

ax^2+10bx+c=0
bx^2+10cx+a=0
cx^2+10ax+b=0

имеет хотя бы один действительный корень.

Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 7? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня).

Найдите наименьшее натуральное a такое, что выражение a(a+16)(a+32)(a+48)(a+64) делится на 10^7