✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»
Данный раздел устарел и больше не обновляется!!!

Новые разделы для подготовки находятся тут: reshimvse.com/categories.php

Олимпиадные задачи

Всеросийская

Натуральное число N представляется в виде N = a1-a2 = b1-b2 = c1-c2 = d1-d2, где a1 и a2 - квадраты, b1 и b2 - кубы, c1 и c2 - пятые степени, а d1 и d2 - седьмые степени натуральных числе. Обязательно ли среди чисел a1, b1, c1 и d2 найдутся два разных?

(А. С. Голованов)
Посмотреть ответ
По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

(Н. Власова)
Посмотреть ответ
В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер — красного цвета, а остальные — зеленого. Каждую точку касания красной и зеленой сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

(А. Кузнецов)
Посмотреть ответ
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A) таких, что a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества действительных чисел.

(Н. Агаханов)
Посмотреть ответ
Есть клетчатая доска 2015 х 2015. Дима ставит в k клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500 х 1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем k Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?

(О. Дмитриев, Р. Женодаров)
Посмотреть ответ
В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к окружности Ω, описанной около треугольника ABC, пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к окружности Г, описанной около треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

(А. Кузнецов)
Посмотреть ответ
Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию xyz больше или равно xy+yz+zx. Докажите неравенство sqrt(xyz) больше или равно sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z)

(А. Храбров)
Посмотреть ответ
Квадратный трёхчлен f(x) = ax^2 + bx + c, не имеющий корней, таков, что коэффициент b рационален, а среди чисел c и f(c) ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трехчлена f(x) быть рациональным?

(Г. Жуков)
Посмотреть ответ
Каждая клетка таблицы размером 7 x 8 (7 строк и 8 столбцов) покрашена в один из трех цветов: красный, желтый или зеленый. При этом в каждой строке красных клеток не меньше, чем желтых и не меньше, чем зеленых, а в каждом столбце желтых клеток не меньше, чем красных и не меньше, чем зеленых. Сколько зеленых клеток может быть в такой таблице?
Посмотреть ответ
Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?
Посмотреть ответ
Решите неравенство sin(x/(x^2)+1) + ((x^2+1)/x)*cos(x/(x^2+1) > 0

Посмотреть ответ
В квадрате ABCD точки E и F — середины сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE и BF пересекаются в точке G. Что больше: площадь треугольника AGF или площадь четырехугольника GECF?
Посмотреть ответ
Существуют ли такие целые числа p и q, что при любых целых значениях x выражение x^2 + px + q кратно 3?
Посмотреть ответ
Существует ли такое натуральное число n, большее 1, что значение выражения (на картинке) является натуральным числом?


Посмотреть ответ
В турнире по шашкам участвовали ученики 10 и 11 классов. Каждый сыграл с каждым один раз. За победу участник получал 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Одиннадцатиклассников было в 10 раз больше, чем десятиклассников, и они вместе набрали в 4,5 раза больше очков, нежели все десятиклассники. Сколько очков набрал самый успешный десятиклассник?
Посмотреть ответ
Петя на ребре AB куба ABCDA1B1C1D1 отметил точку X, делящую ребро AB в отношении 1 : 2, считая от вершины A. Приведите пример, как Петя может отметить на рёбрах CC1 и A1D1 соответственно точки Y и Z, чтобы треугольник XYZ был равносторонним. Пример обоснуйте.
Посмотреть ответ
Учительница Мария Ивановна готовит задания для урока математики. Она хочет в уравнении 1/(x+a) + 1/(x+b) = 1/c вместо а, b и c поставить три различных натуральных числа, чтобы корни уравнения были целыми числами. Помогите ей: подберите такие числа и решите уравнение.
Посмотреть ответ
Может ли сумма 2015 последовательных натуральных чисел оканчиваться той же цифрой, что и сумма следующих 2019 чисел?
Посмотреть ответ
Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел а и b, больших 1, удовлетворяющих уравнению a^(13)*b^(31)=6^(2015)
Посмотреть ответ
За лето однокомнатная квартира подорожала на 21 %, двухкомнатная — на 11 %, а суммарная стоимость квартир — на 15 %. Во сколько раз однокомнатная квартира дешевле двухкомнатной?
Посмотреть ответ
Сферическая капля воды падает в воздухе с установившейся скоростью V0. С какой установившейся скоростью V будет падать капля воды, имеющая в n раз большую массу?Считайте, что сферическая форма капли не меняется при увеличении ее скорости, а сила сопротивления воздуха пропорциональна площади поперечного сечения и квадрату скорости движения капли.
Посмотреть ответ
Домашняя кошка любит валяться на полу и играть в мячик, бросая его задними лапами вертикально вверх и ловя его после удара о потолок. Скорость мячика перед абсолютно упругим ударом о потолок обычно равна V0 = 5 м/с. Однажды кошка стала так же играть, лежа на лужайке. Она привычными движениями бросала мячик вверх, а вот ловить его приходилось позже на время t. Определите это время. Ускорение свободного падения g = 10 м/с^2.
Посмотреть ответ
Частица массой m, несущая заряд q, влетает со скоростью V в область однородного магнитного поля с индукцией B перпендикулярно линиям индукции и плоской границе области (см. рис.). Определите максимальное расстояние, на которое удалится от границы области частица в процессе своего движения

Посмотреть ответ
Экспериментатор собрал электрическую цепь, состоящую из разных батареек с пренебрежимо малыми внутренними сопротивлениями и одинаковых плавких предохранителей, и нарисовал ее схему (предохранители на схеме обозначены черными прямоугольниками). При этом он забыл указать на рисунке часть ЭДС батареек. Однако экспериментатор помнит, что в тот день при проведении опыта все предохранители остались целыми. Восстановите неизвестные значения ЭДС.

Посмотреть ответ
В калориметре находится вода массой mв = 0,16 кг и температурой tв = 30 градусов C. Для того, чтобы охладить воду, из холодильника в стакан переложили лед массой mл = 80 г. В холодильнике поддерживается температура tл = –12 градусов C. Определите конечную температуру в калориметре. Удельная теплоёмкость воды Cв = 4200 Дж/(кг*градусовC), удельная теплоёмкость льда Cл = 2100 Дж/(кг*градусовC), удельная теплота плавления льда лямбда = 334 кДж/кг.
Посмотреть ответ
Неподвижная наклонная плоскость наклонена под углом a к горизонту. Брусок может скользить по ней с коэффициентом трения u < tg a. Бруску сообщают начальную скорость, направленную вверх вдоль горки. Определите отношение времени подъема бруска ко времени его опускания.
Посмотреть ответ
Тело с герметичной полостью изготовлено из стеклопластика (p0 = 2,0 г/см^3 ). Если это тело подвесить на нити в воздухе, сила натяжения нити равна T0 = 3,5 Н. Для удержания этого тела в воде (тело полностью погружено в воду и не касается дна сосуда) к нити прикладывают силу T1 = 1,5 Н. Определите возможные значения отношения a объема полости к полному объему тела.
Посмотреть ответ
В запаянной с одного конца горизонтально лежащей трубке находится воздух с относительной влажностью φ0 = 60%, отделённый от атмосферы столбиком ртути длиной l = 74 мм. Атмосферное давление соответствует L0 = 740 мм ртутного столба. Какой станет относительная влажность φ, если трубку поставить вертикально открытым концом вниз? Температура постоянна, ртуть из трубки при переворачивании не выливается.
Посмотреть ответ
При движении в гору автомобиль может развивать максимальную скорость V1, а при движении с этой же горы – скорость V2. В обоих случаях двигатель работает на свою максимальную мощность; использование коробки передач позволяет двигателю автомобиля развивать эту максимальную мощность при разных скоростях движения. Какую максимальную скорость V0 этот автомобиль может развить при движении по горизонтальной дороге? Считайте, что ветра нет, а действующая на автомобиль сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату его скорости. Решите задачу в общем случае, а также в частном случае V1 = 100 км/ч, V2 = 2V1 = 200 км/ч. Сравните для данного примера скорость V0 со значением 1,5V1 = 150 км/ч.
Посмотреть ответ
По комнате движутся во взаимно перпендикулярных направлениях школьница Ирина и шкаф на колёсиках, причём шкаф удаляется от Ирины. На шкафу расположено плоское зеркало, в котором Ирина видит своё изображение. Скорости шкафа и Ирины относительно комнаты равны, соответственно, V1 = 1,5 м/с и V2 = 2 м/с. Найдите модуль скорости изображения Ирины
а) относительно зеркала;
б) относительно комнаты;
в) относительно Ирины.

Посмотреть ответ
Найдите показания идеальных амперметров А1 и А2 в электрической цепи, схема которой приведена на рисунке. Напряжение идеального источника U = 11 В, сопротивление R = 1 кОм.

Посмотреть ответ
В электрическом чайнике 1 литр воды нагревается на 10 градусов за 1 минуту. За какое время нагреются до кипения 500 г воды, взятые из ведра со смесью воды и льда? Потерями теплоты можно пренебречь. Плотность воды 1000 кг/м^3.
Посмотреть ответ
В комнате объёмом V = 30 м^3 сначала была температура t1 = 10 °C. После включения отопления она стала равна t2 = 20 °C. Увеличилась или уменьшилась масса воздуха в комнате? На сколько килограммов? Атмосферное давление равно p = 100 кПа, молярная масса воздуха µ = 29 г/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж/(моль·К). Абсолютный нуль температуры составляет t0 = −273 °C.
Посмотреть ответ
Ледяной кубик с длиной ребра 10 см плавает в цилиндрическом аквариуме с водой так, что верхняя грань кубика горизонтальна.
1. Найдите высоту верхней грани кубика над уровнем воды.
2. Поверх воды доливают слой керосина так, что поверхность керосина оказывается на одном уровне с верхней гранью кубика. Какова высота слоя керосина?
Плотности воды, льда и керосина равны соответственно 1000 кг/м^3, 900 кг/м^3 и 800 кг/м^3.
Посмотреть ответ
Два одинаковых пластилиновых шарика при помощи пружинного пистолета подбрасывают из одной точки вертикально вверх вдоль одной прямой с промежутком в τ = 2 с. Начальные скорости первого и второго шариков равны V1 = 30 м/с и V2 = 50 м/с соответственно. Через какое время t после момента бросания первого шарика они столкнутся? На какой высоте это произойдёт? Ускорение свободного падения g = 10 м/с^2.
Посмотреть ответ
Постройте график функции y=sinx/|sinx|
Посмотреть ответ
Числа 1/(a+b), 1/(a+c), 1/(b+c) образуют арифметическую прогрессию. Верно ли, что числа a^2, b^2, c^2 также образуют арифметическую прогрессию?
Посмотреть ответ
Дан куб. А, В и С – середины его ребер (см. рисунок). Чему равен угол АВС?
Посмотреть ответ
Убирая детскую комнату к приходу гостей, мама нашла 9 носков. Среди любых четырёх носков хотя бы два принадлежат одному хозяину. А среди любых пяти носков не больше трёх имеют одного хозяина. Сколько детей разбросало носки, и сколько носков принадлежит каждому ребенку?
Посмотреть ответ
Сколько существует натуральных чисел n, для которых 4^(n)-15 ? является квадратом целого числа?
Посмотреть ответ
Дан прямоугольник АВСD. Точка М – середина стороны АВ, точка К – середина стороны ВС. Отрезки АК и СМ пересекаются в точке Е. Во сколько раз площадь четырехугольника МВКЕ меньше площади четырехугольника АЕСD?
Посмотреть ответ
На числовой прямой закрашивают красным и синим цветом точки с целыми координатами по следующим правилам: а) точки, разность координат которых равна 7, должны быть покрашены одним цветом; б) точки с координатами 20 и 14 должны быть покрашены красным, а точки с координатами 71 и 143 — синим. Сколькими способами можно раскрасить все точки с целыми координатами, соблюдая эти правила?
Посмотреть ответ
В квадрате со стороной 5 произвольным образом отметили 201 точку. Верно ли, что какие-то 5 точек можно накрыть квадратом со стороной 1?
Посмотреть ответ
Постройте график функции x^2/|x|
Посмотреть ответ
Петя сбегает с четвёртого этажа на первый на 2 секунды быстрее, чем мама едет на лифте. Мама едет на лифте с четвёртого этажа на первый на 2 секунды быстрее, чем Петя сбегает с пятого этажа на первый. За сколько секунд Петя сбегает с четвёртого этажа на первый? (Длины пролетов лестницы между всеми этажами одинаковы).
Посмотреть ответ
Число а на 1 больше числа b. Могут ли числа a^2 и b^2 быть равными?
Посмотреть ответ