✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»
Данный раздел устарел и больше не обновляется!!!

Новые разделы для подготовки находятся тут: reshimvse.com/categories.php

ЕГЭ по Математике (профильный)

Математика Часть II-14

Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD. Точки K, L, M расположены на рёбрах SA, SB, SC соответственно, и при этом

SK/SA = 1/2; SL/SB = 2/5; SM/SC = 2/3

а) Докажите, что прямые KM и LD пересекаются.

б) Найдите отношение объёма пирамиды SKLMD к объёму пирамиды SABCD.
Посмотреть ответ
На боковых ребрах ЕА, ЕВ, ЕС правильной четырехугольной пирамиды ABCDE расположены точки M, N, K соответственно,причем ЕМ : ЕА = 1:2, EN : ЕВ = 2 :3, ЕК : ЕС = 1:3 .

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки М, N, К

б) В каком отношении плоскость (MNK) делит объем пирамиды?
Посмотреть ответ
Сфера касается рёбер BS, CS, CA, AB пирамиды SABC в точках K, L, M, N соответственно.

а) Докажите, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.
б) Найдите KM, если KL = 8, LM = 8, MN = 6, NK = 4.
Посмотреть ответ
Сфера радиусом R = 5 касается боковых граней правильной треугольной пирамиды SABC в точках K, L, M, принадлежащих сторонам основания пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если центр сферы удалён от плоскости её основания на расстояние, равное d = 3.
Посмотреть ответ
Точки K, L, M расположены на ребрах SA, SB, SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD соответственно, и при этом

SK/KA = 1/2; SL/SB = 1/5; SM/SC = 1/3

а) Докажите, что плоскость (KLM) проходит через вершину D пирамиды SABCD.

б) Найдите угол между плоскостью (KLM) и плоскостью основания пирамиды (ABCD), если SA = b = 2, AB = a = 1.
Посмотреть ответ
14) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребре C1D1 взята точка К так, что KC1=3KD1.

А) Докажите, что плоскость АСК делит диагональ BD1 в отношении 4:1, считая от точки В.

Б) Найдите расстояние от точки D до плоскости АСК, если известно, что АВ=4, ВС=3, СС1=2.
Посмотреть ответ
Ларин 14) Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.

а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.

б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.
Посмотреть ответ
В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Боковая грань пирамиды BCD перпендикулярна основанию, BD=DC.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро ВС перпендикулярно ребру AD.

б) Найдите объём пирамиды BCMD, где М - точка пересечения ребра АD и плоскости сечения, если сторона основания пирамиды ABCD равна 8sqrt(3), а боковое ребро AD наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.
Посмотреть ответ
14) В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной АВ = 7 и диагональю BD = 10. Все боковые рёбра пирамиды равны 7. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости АВС.
Посмотреть ответ
SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки В опущен перпендикуляр ВН на плоскость SAD.

а) Докажите, что угол AHC = 90°.

б) Найдите объём пирамиды, если НА = 3 и НС = 5.
Посмотреть ответ
Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD, причем АМ : МD = 2 :3, ВN : АN = 1 : 2, ВК = КС.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.

б) Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.
Посмотреть ответ
В основании прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Точка К — середина ребра А1В1, а точка М делит ребро АС в отношении AM : МС = 1:3.

а) Докажите, что КМ перпендикулярно АС.

б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВВ1, если АВ = 14, АС = 16 и АА1 = 6.
Посмотреть ответ
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA1 равно sqrt(5). На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём CK = 2, a C1L = 1. Плоскость гамма параллельна прямой BD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости гамма.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание - сечение данной призмы плоскостью гамма.
Посмотреть ответ
Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB=AA1

а) Докажите, что прямые А1С и BD перпендикулярны

б) Найдите объем призмы, если А1С=BD=2.
Посмотреть ответ
В треугольной пирамиде PABC с основанием АВС известно, что АВ=17, РВ=10, cosPBA = 32/85. Основанием высоты этой пирамиды является точка С. Прямые РА и ВС перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный

б) Найдите объем пирамиды РАВС.
Посмотреть ответ
Дана правильная треугольная пирамида SABC. Её боковое ребро BS равно 9, высота SH пирамиды равна 3sqrt(5). Точка М — середина ребра ВС, а точка Т — середина отрезка SM.

а) Докажите, что АТ — высота пирамиды, проведённая к грани SBC.

б) Найдите расстояние между прямыми АТ и SB.
Посмотреть ответ
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD со стороной основания, равной 3, высота пирамиды равна 3sqrt(2)/2. На рёбрах АВ, CD и AS отмечены точки М, N и К соответственно, причём AM = DN = АK = 1.

а) Докажите, что плоскость MNK параллельна плоскости SBC.

б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.
Посмотреть ответ
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, у которой ребро основания равно 2, а высота равна 5. Через точки А, C1 и середину Т ребра А1В1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС.
Посмотреть ответ
В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 9 и радиусом основания 2 проведена хорда АВ, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный АВ. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую АВ, перпендикулярно прямой CD, так, что точка С и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Посмотреть ответ
В основании пирамиды PABCD - трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, прямые АВ и CD пересекаются в точке К.

а) Доказать, что плоскость РАВ перпендикулярна плоскости PCD.

б) Найдите объем PKBC, если AB-BC=CD=3, а высота пирамиды PABCD равна 8.
Посмотреть ответ
Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причем АВ=3sqrt(2), ВС=6. Высота пирамиды падает в центр прямоугольника. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB

а) Докажите, что точки P - середина BQ
б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD=9
Посмотреть ответ
На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ =CN:NB=3:1. Точки P и Q - середины рёбер DA и DC соответственно

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды
Посмотреть ответ
Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, BC = 4sqrt(2). Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.

а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8
Посмотреть ответ
Дана пирамида PABCD , в основании - трапеция ABCD , причём угол BAD + угол ADC=90 градусов. Плоскости (PAB) и (PCD) перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.

а) Доказать, что (PAB) перпендикулярно (PCD)
б) Найти V_(PKBC) , если AB=BC=CD = 3, а высота пирамиды равна 8
Посмотреть ответ
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью а, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями а и ВСС1, если АА1 = 6, АВ = 4.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SABC ребро основания AB равно 2, а боковое ребро АS равно sqrt(5). Через точки S, A и середину стороны BC – точку К проведено сечение. Найти

а) Площадь сечения.
б) Косинус угла между сечением и плоскостью ABC.
Посмотреть ответ
a) Найти наибольшую площадь сечения конуса, проходящего через вершину, у которого радиус основания равен 6, а образующая – 8.
б) Образующая конуса равна 8, а радиус основания R. Найти наибольшую площадь сечения конуса, проходящего через вершину в зависимости от R
Посмотреть ответ
В основании пирамиды PABC лежит прямоугольный треугольник с катетами АС=6 и ВС=8. Прямая РС перпендикулярна плоскости АВС. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК:ВК=9:16.

А) Докажите, что прямые РК и АВ перпендикулярны.
Б) Найдите отношение радиусов сфер, вписанных в пирамиды РАСК и РВСК, если известно, что РС=2.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 63, а высота пирамиды равна 8. На рёбрах AB, AC и AD соответственно отмечены точки M, N и K, такие, что AM=AN=(3sqrt(3))/2 и AK=5sqrt(2).

а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.
Посмотреть ответ
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно 7sqrt(10).

а) Постройте прямую пересечения этой плоскости с плоскостью, проходящей через диаметры оснований, перпендикулярные этим хордам.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Посмотреть ответ
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 20, а высота пирамиды равна 11,25. Через ребро АВ под углом бета к плоскости АВС проведена плоскость α. Известно, что tg бета = 3/4.

А) Докажите, что плоскость α делит ребро РС в отношении 1:4, считая от точки Р.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме АВСA1B1C1 все ребра равны между собой.

Точка К – середина ребра СС1. Докажите, что прямые АВ1 и ВК перпендикулярны.
Посмотреть ответ
Дана правильная четырёхугольная пирамида МABCD, все рёбра которой равны 6. Точка N-середина ребра МА, точка К делит боковое ребро МВ в отношении 5:1, считая от вершины М.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и К параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме АВСA1B1C1 все ребра равны между собой.

Точка К – середина ребра СС1.

А) Докажите, что прямые АВ1 и ВК перпендикулярны.
Б) Найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВК, если ребро призмы равно 6
Посмотреть ответ
PH - высота правильной четырехугольной пирамиды РАВСD, О - точка пересечения медиан треугольника ВСР.

А) Докажите, что прямые РН и АО не имеют общих точек.

Б) Найдите угол между прямыми РН и АО, если известно, что АВ=РН.
Посмотреть ответ
В основании прямой призмы АВСDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD. Точка К – середина ребра ВВ1. Плоскость α проходит через середины ребер АВ и ВВ1 параллельно прямой В1D.

А) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость α, если известно, что ВС=7, АD=25, АВ=15, ВВ1=8.
Посмотреть ответ
В основании прямой призмы АВСDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD. Точка К – середина ребра ВВ1. Плоскость α проходит через середины ребер АВ и ВВ1 параллельно прямой В1D.

А) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость α, если известно, что ВС=7, АD=25, АВ=15, ВВ1=8.
Посмотреть ответ
Цилиндр и конус имеют общее основание, вершина конуса является центром другого основания цилиндра. Каждая образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30° .

А) Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны.

Б) Найдите радиус сферы, касающейся боковых поверхностей цилиндра и конуса, а так же одного из оснований цилиндра, если известно, что объем конуса равен (6sqrt(3)+10)*Pi.
Посмотреть ответ
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды 18, боковое ребро 41. Найти площадь боковой поверхности пирамиды
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SABC высота равна 12, а апофема равна 20. Точки Р и Т - середины рёбер SB и SC соответственно. Плоскость α содержит прямую РТ и параллельна высоте пирамиды SH.

а) Докажите, что плоскость α делит высоту основания ВВ1 в отношении 1:2, считая от вершины В
б) Найдите расстояние от точки В до плоскости α

Посмотреть ответ
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре СС1 отмечена точка М так, что СМ:С1М=1:3. Плоскость АЕМ пересекает ребро ВВ1 в точке К.

А) Докажите, что ВК:В1К=1:5.
Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью АЕМ, если АВ=3, СС1=8.
Посмотреть ответ
В правильной пирамиде PABC точки Е, F, K, M, N - середины ребер АС, ВС, РА, РВ и РС соответственно.

А) Докажите, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.

Б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки N, Е, F, M, K, если известно, что АВ=8, АР=6.
Посмотреть ответ
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что A1P:PB1=3:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Посмотреть ответ
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно sqrt(730).

а) Докажите, что эта плоскость пересекает ось цилиндра.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все рёбра равны 1.

а) Докажите, что прямая АВ1 параллельна прямой, проходящей через середины отрезков АС и ВС1.
б)Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка М – середина ребра АВ, точка О – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью АВС.
Посмотреть ответ
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.

А) Докажите, что прямая В1С1 перпендикулярна линии пересечения плоскостей АВС1 и АСВ1.

Б) Найдите угол между плоскостями АВС1 и АСВ1, если известно, что АВ=2, АА1=2.
Посмотреть ответ
В правильной шестиугольной призме AB...E1F1 со стороной основания 4 и боковым ребром 2

а) Опустите перпендикуляр из точки С на прямую E1F1.
б) Найдите его длину.
Посмотреть ответ
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF со стороной основания 2 и боковым ребром 3 точка М делит ребро SD в отношении 1 : 2 (считая от вершины S).

а) Постройте угол между прямой ВМ и плоскостью АЕС.
б) Найдите величину этого угла.
Посмотреть ответ
В шаре проведено два сечения параллельными плоскостями, при-чем одно из них проходит через центр шара. Расстояние между плоскостями равно 3, а площадь меньшего сечения равна 16Pi. Найдите площадь поверхности шара.
Посмотреть ответ
Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 4. Основание призмы — треугольник АВС, в котором АВ = ВС, АС = 6, tgА = 0,5. Найдите тангенс угла между прямой А1В и плоскостью АСС1.
Посмотреть ответ
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2sqrt(13), а диагональ боковой грани равна 13.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостью С1АВ и плоскостью основания призмы.
б) Найдите величину этого угла.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, стороны основания которой равны 2, а боковые ребра 3, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1

а) Постройте угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1.
б) Найдите косинус этого угла.
Посмотреть ответ
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. На ребре АА1 отмечена точка М так, что А1М:АМ = 1:3. Через точки М и В1 параллельно AD1 проведена плоскость Ω.

а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину F1.

б) Найдите расстояние от точки А до плоскости Ω, если АВ=2, АА1=4.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ=7sqrt(3), а боковое ребро АА1=8.

а) Докажите, что плоскость ВСА1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро АА1 и середину ребра В1С1.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями ВСА1 и ВВ1С1.
Посмотреть ответ
На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М — середина гипотенузы АВ, Н — точка пересечения прямых СМ и DK.

а) Докажите, что CM перпендикулярно DK .

б) Найдите МН, если известно, что катеты треугольника АВС равны 130 и 312.
Посмотреть ответ
Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания АВС.

а) Докажите, что высота пирамиды проведённая из точки А, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, АС и SA, пополам.

б) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA = sqrt(5) , АВ = АС = 5, ВС = 2sqrt(5).
Посмотреть ответ
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. O - точка пересечения A1D и AD1

а) Докажите, что плоскости OB1C1 и CEE1 перпендикулярны

б) Найдите расстояние между прямыми B1C1 и СE1, если известно, что АВ=1, АА1=3.
Посмотреть ответ
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.

а) Докажите, что прямые СA1 и C1D1 перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины С, A1 и F1.
Посмотреть ответ
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре DD1 так, что DM:D1M=1:2. Плоскость, проходящая через точки А и М параллельно BD1, пересекает ребро CD в точке Р.

а) Докажите, что CP=DP.

б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости АМР, если известно, что АВ=12, ВС=9, АА1=36.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М так, что МА:МР=9:16.

а) Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды МАВС.
Посмотреть ответ
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями АС = 8 и BD = 6. Боковое ребро ВВ1 равно 12. На ребре ВВ1 отмечена точка М так, что ВМ:В1М=1:7.

а) Докажите, что прямая MD перпендикулярна плоскости АСD1.
б) Найдите объем пирамиды МАСD1.
Посмотреть ответ
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ=АА1=6, ВС=4. Точка Р - середина ребра АВ, точка М лежит на ребре DD1 так, что DM:D1D=2:3.

а) Докажите, что прямая BD1 параллельна плоскости МРС.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью МРС.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре SC отмечена точка М так, что SM:MC=7:18.

а) Докажите, что плоскости SBC и АВМ перпендикулярны.

б) Найдите объем меньшей части пирамиды SABC, на которые ее разбивает плоскость АВМ.
Посмотреть ответ
Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребре В1С1 отмечена точка L так, что B1L=1. Точки К и М - середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость у параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости у

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой - точка М, а основание - сечение данной призмы плоскостью у.

Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка Р - середина ребра А1В1, точка М - середина ребра А1С1.

А) Докажите, что сечение призмы плоскостью ВРМ проходит через точку С.

Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость ВРМ разбивает данную призму, если известно, что АВ=6, АА1=4.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SАВС точки К, N принадлежат ребру SA, точка М – ребру SВ, а L принадлежит ребру SC, причём АК= КN=NS, SM : МВ = 1:3, SL:LC= 2:1.

а) Докажите, что перпендикуляр МН, опущенный на апофему боковой грани ASC делит ее в отношении 1:5, считая от вершины S.

б) Найдите отношение объёма пирамиды KLMN к объёму пирамиды SАВС.
Посмотреть ответ
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центра основания.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
Посмотреть ответ
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно 2sqrt(197).

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Посмотреть ответ
Дана правильная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания АВ=4, а боковая сторона АА1=9. Точка М-середина ребра АС, а на ребре АА1 взята точка Т так, чт АТ=3.

А)Докажите, что плоскость ВВ1М делит отрезок С1Т пополам.
Б)Плоскость ВТС1 делит отрезок МВ1 на две части. Найдите длину большей из них.
Посмотреть ответ
А)Докажите, что в правильной треугольной призме АВСА1В1С1 прямая, проходящая через середины отрезков АА1 и ВС1, перпендикулярна этим отрезкам.
Б)1)Т-середина АА1, К-середина ВС1
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 14. Около пирамиды описана сфера.

А)Докажите, что центр сферы лежит на высоте пирамиды.
Б)Найдите расстояние от центра сферы до плоскости основания.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 12, а боковые ребра равны 13. Около пирамиды описана сфера.

А)Докажите, что центр сферы лежит на высоте пирамиды.
Б)Найдите расстояние от центра сферы до плоскости основания.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 5, боковые ребра равны 15, точка D-середина ребра CC1.

а) Пусть прямые BD и В1С1 пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕА1B1– прямой.
б) Найдите угол между плоскостями А1В1С1 и BDA1.
Посмотреть ответ
Дан куб ABCDA1B1C1D1.

А) Докажите, что каждая из плоскостей BDA1 и B1D1C перпендикулярна прямой AC1.

Б) Найдите объем части куба, заключенной между плоскостями BDA1 и В1D1С, если известно, что отрезок диагонали AC1, заключенный между этими плоскостями, имеет длину sqrt(3)
Посмотреть ответ
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ=ВС, АС=16. На ребре BB1 выбрана точка F так что BF:B1F=3:5. Угол между плоскостями АА1С и AFC равен 45

а) Докажите, что расстояние между АВ и А1С1 равно боковому ребру призмы.

б) Найдите расстояние между АВ и А1С1, если FC=10
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 4, боковые ребра равны 7, точка D-середина ребра ВВ1.

а) Пусть прямые С1D и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕАС – прямой.
б) Найдите угол между плоскостями АВС и АDС1.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SABC точка Р - середина АВ, точка К - середина ВС. Через точки Р и К параллельно SB проведена плоскость Q.

А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Q является прямоугольником.

Б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Q, если известно, что SC=5, AC=6.
Посмотреть ответ
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 4. Через точки A, C1 и середину T ребра A1B1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите объём пирамиды A1ATC1.
Посмотреть ответ
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB=AC). Точка К - середина ребра B1C1.

А) Докажите, что прямая AB1 параллельна плоскости CKA1.

Б) Найдите расстояние от прямой AB1 до плоскости CKA1, если известно, что СВ=6, CA=5, CC1=12
Посмотреть ответ
Дана правильная пирамида SABC, у которой сторона основания AB=6, боковое ребро SA=9. Сечение пирамиды, параллельное ребрам АС и SB, является квадратом.

а)Докажите, что сечение делит ребра AS, CS, CB и AB в равном отношении.
б)Найдите угол между диагональю этого квадрата и плоскостью основания пирамиды.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра AB равна 12sqrt(3), SC равно 13.

а) Докажите, что прямая, проходящая через середины ребер AS и ВС, пересекает высоту пирамиды.

б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием - сечение пирамиды SABC плоскостью α.
Посмотреть ответ
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=3:4. Точка T - середина ребра B1C1. Известно, что AB=9, AD=6, AA1=14.

А) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
В) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.
Посмотреть ответ
В кубе ABCDA1B1C1D1 на продолжении ребра BB1 отмечена точка P так, что PB:BB1=3:4. Через точки А и Р параллельно прямой BD1 проведена плоскость альфа.

А) Докажите, что плоскость альфа делит ребро DC в отношении 1:2.

Б) Найдите площадь сечения куба плоскостью альфа, если известно, что РВ=18.
Посмотреть ответ
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 4sqrt(3). На ребрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причем AM = A1N = C1K = 1

а) Пусть L - точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL - квадрат

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .
Посмотреть ответ
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 b BC=3. Длины боковых ребер пирамиды SA=sqrt(11), SB=3sqrt(3), SD=2sqrt(5).

а) Докажите, что SA-высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде DABC со стороной основания АВ, равной 30, боковое ребро равно 20. Точки N и М делят рёбра DA и DB в отношении 2:1, считая от вершины D. Плоскость α, содержащая прямую MN, перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость а делит высоту СЕ основания в отношении 8:1, считая от точки С.

б) Найдите площадь сечения пирамиды DABC плоскостью α.
Посмотреть ответ
Радиус основания конуса равен 4, а высота конуса равна 3sqrt(2). В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4sqrt(2).

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Посмотреть ответ
Дан куб ABCDA1B1C1D1

1) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1
2) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C
Посмотреть ответ
Точка E - середина ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью DEB1 является ромбом.
б) Найдите угол между прямыми DE и BD1.
Посмотреть ответ
Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD, у которой AD|| BC. На ребре SC выбрана точка К так, что CK:KS=2:5. Плоскость, проходящая через точки А,В и К, пересекает ребро SD в точке L. Известно, что объемы пирамид SABKL и SABCD относятся, как 95:189.

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью АВК.
Б) Найдите отношение длин оснований трапеции ABCD
Посмотреть ответ
В пирамиде SABC известны длины ребер AB=AC=SB=SC=10; BC=SA=12. Точка K - середина ребра BC

1) Докажите, что плоскость SAK перпендикулярна плоскости ABC

2) Найдите расстояние между прямыми SA и BC
Посмотреть ответ
Все ребра правильной четырехугольной пирамиды FABCD с основанием ABCD равны 7. Точки P,Q,R лежат на ребрах FA, AB и ВС соответственно, причем FP=BR=4, AQ=3.

А) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру FD
Б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR
Посмотреть ответ
Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер AB, АС и SA, отсекает от пирамиды SABC пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды SABC.

б) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA = 2sqrt(5), AB = АС = 10, BC = 4sqrt(5) .
Посмотреть ответ
В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми SB и AD.

Посмотреть ответ
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=35, AD=12, CC1=21.

а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
Посмотреть ответ
Дана правильная треугольная призма АВСА1B1C1, все рёбра которой равны 4. Через точки A, C1 и середину T ребра A1В1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC
Посмотреть ответ
В кубе ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 5.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостиями ABD и CAD1.

б) Найдите тангенс этого угла.
Посмотреть ответ
Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4, а сторона основания равна 6. Около основания пирамиды описана окружность.
а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно Pisqrt(2)
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
Посмотреть ответ
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=1/2, на ребре BB1 — точка F так, что B1F:FB=1/5, а точка Т — середина ребра B1C1. Известно, что AB=3, AD=6, AA1=18.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1
Посмотреть ответ
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник со сторонами AB=12, BC=5. Боковые рёбра SA=3sqrt(3), SB=sqrt(171), SD=2sqrt(13).

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между SC и BD.
Посмотреть ответ
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1

а) Опустите перпендикуляр из точки D на плоскость CAD1.
б) Найдите его длину.
Посмотреть ответ
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL:LC = 1:2.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.
Посмотреть ответ
Площадь основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64, а площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 32sqrt(3).

а) Докажите, что угол между плоскостью основания пирамиды и боковым ребром равен 60°.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Посмотреть ответ
В кубе ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 5.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскости ми ABD и CAD1.

б) Найдите тангенс этого угла.
Посмотреть ответ
Все ребра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9. Основание О высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1. М - середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL:LD=7:2
а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM - равнобокая трапеция.
б)Вычислите длину средней линии этой трапеции.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра равны 1.

а) Постройте прямую пересечения плоскости ABB1 и плоскости, проходящей через точки C,C1 перпендикулярно плоскости ACC1.

б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SABC со стороной основания BC = 12 и боковым ребром SB = 8 на рёбрах SB и SC взяты точки E и F соответственно, являющиеся серединами рёбер. Плоскость а, содержащая прямую EF, перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость а делит биссектрису АА1 основания пирамиды в отношении 5 : 1, считая от точки А.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью a.
Посмотреть ответ
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 2sqrt(2/5).

а) Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые ВО и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Посмотреть ответ
Точка Е — середина ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью DEB1 является ромбом.

б) Найдите угол между прямыми DE и BD1.
Посмотреть ответ
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое рёбро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит апофему грани ASB в отношении 1 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 3, точка М — середина ребра АС, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 2:1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что плоскость MSF перпендикулярна ребру АС.

б) Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью АВС.
Посмотреть ответ
Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB=8sqrt(3) , а боковое ребро AA1=5

a) Найдите длину A1K, где K - середина ребра BC.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA1 и BB1C1
Посмотреть ответ
В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A1D1, причем A1M:MD1 = 1:4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: DD1CC1
Посмотреть ответ
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=6, AD=4, AA1=10. Точка F принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, F и C1.
Посмотреть ответ
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=sqrt(5) и BC=2.
Длины боковых ребер пирамиды SA=sqrt(7),SB=2sqrt(3),SD=sqrt(11).
а) Докажите, что SA – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Посмотреть ответ
В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной 2sqrt(3) , SA = SC = sqrt(33) , SB = 7 . Точка О — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.

а) Докажите, что точка О лежит вне треугольника ABC.

б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.
Посмотреть ответ
Найдите угол АС1С прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, для которого АВ = 8, AD = 15, АА1 = 17. Ответ в градусах.
Посмотреть ответ
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
Посмотреть ответ
Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины двух сторон основания проведено сечение. Найти площадь сечения и объём пирамиды, если известны стороны основания а и угол α между сечением и основанием пирамиды.
Посмотреть ответ
В цилиндре отрезок AB является диаметром нижнего основания и равен 10. Точка С лежит на окружности верхнего основания цилиндра и одновременно принадлежит осевому сечению цилиндра, перпендикулярного AB. Найти косинус угла между плоскостью (ABC) и плоскостью основания цилиндра, если BC=13.
Посмотреть ответ
Диаметр AN и хорда AB основания конуса соответственно равны 24 и 16, высота конуса sqrt(125). Найти тангенс угла между плоскостью основания конуса и плоскостью сечения конуса, проходящей через вершину конуса и хорду AB.
Посмотреть ответ
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между BD и SA.
Посмотреть ответ
Найти угол между плоскостями (α) 2х+3y+6z-5=0; (β) 4x+4y+2z-7=0
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра AB=20sqrt(3), SC = 29. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где М – точка пересечения медиан грани SBC.
Посмотреть ответ
Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD=корень из 31. Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.
Посмотреть ответ
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2, а высота призмы равна sqrt(17). Точка E лежит на диагонали BD1, причем BE=2.
a) Постройте сечение призмы плоскостью A1C1E
б) Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости ABC

Посмотреть ответ
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12.Точка Р-середина ребра СВ.Точка К лежит на ребре СD так ,что KD:KC=1:2.Плоскость,проходящая через точки Р,К и А1 пересекают ребро DD1 в точке М.
а)Докажите ,что DM:D1M=1:4.
б)Найдите угол между плоскостями РКА1 и АВС
Посмотреть ответ
Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 64.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центра основания.
б) Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.
Посмотреть ответ
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центра основания.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ — точка L. Известно, что AD = AE = AL = 4. Найдите угол между плоскостью основания и сечением пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D, L.
Посмотреть ответ
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания, равной 4, на ребре АА1 взята точка M так, что AM = 2, А1М = 5. На ребре ВВ1 взята точка К так, что ВК = 5, а В1К = 2. Найдите угол между плоскостями D1MK и CC1D1.
Посмотреть ответ
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF проведена высота SO, М и N-середины отрезков ОС и SE соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания, если сторона основания 2, а боковое ребро 3.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SABC, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3, точки М и N - середины ребер SC и АВ соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания пирамиды.
Посмотреть ответ
Угол А в основании прямой призмы АВСА1В1С1 прямой, АС = АВ =АА1 = 1. Найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью ВВ1С.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме ABCDA1B1C1D1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой ВС1.
Посмотреть ответ
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AA1 и плоскостью BC1D.
Посмотреть ответ
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD
Посмотреть ответ
К одном у концу лёгкой пружины жёсткостью k = 100 Н/м прикреплён массивный груз, лежащий на горизонтальной плоскости, другой конец пружины закреплён неподвижно (см. рисунок). Коэффициент трения груза по плоскости Мю=0.2 Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Груз движется в одном направлении и затем останавливается в положении, в котором пружина уже сжата. Максимальное растяжение пружины, при котором груз движется таким образом, равно d = 15 см. Найдите массу m груза.


Посмотреть ответ
Основание пирамиды SABC – равносторонний треугольник со стороной 1. Вершина S проецируется в точку A, и SA = 1. Найдите угол между прямыми AB и SC.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 4, высота - 10. Точки К и М -середины ребер АС и А1В1 соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АС1 и КМ.
Посмотреть ответ
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC=6 и BD=12. Высота призмы равна sqrt(15). Найдите угол между прямыми AB1 и D1C.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
Посмотреть ответ
Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна 4sqrt(3) а угол ВАD равен 60 градусов. Найдите расстояние от точки А до прямой C1D1,если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.
Посмотреть ответ
Точка E — середина ребра куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AE и CA1.
Посмотреть ответ
Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Посмотреть ответ
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, известны AB=1, AD=AA1=2. Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.
Посмотреть ответ
Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см^2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
Посмотреть ответ
Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен sqrt(3)/4. Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.
Посмотреть ответ
Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9, на окружности основания конуса выбраны точки А и Б, делящие окружность на 2 дуги, длины которых относятся как 1:3. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.
Посмотреть ответ
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно sqrt(6), высота - sqrt(33). Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой MT, где точки M и T - середины ребер CS и BC соответственно.
Посмотреть ответ
Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет 5/7 от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром
Посмотреть ответ
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC=8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT:TM=1:3. Вычислите объём пирамиды MPTA.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 8sqrt(3) а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1. Найдите объём пятигранника ABCA1D.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой МА.
Посмотреть ответ
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно sqrt(5), а высота равна 1, вписана сфера.(Сфера касается всех граней пирамиды). Найдите площадь этой сферы
Посмотреть ответ
Радиус основания конуса равен 8, а его высота равна 15. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 14. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Посмотреть ответ
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 6, а боковое ребро АА1=1. Точка F принадлежит ребру C1D1 и делит его в отношении 2:1, считая от вершины С1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и F
Посмотреть ответ
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
Посмотреть ответ
Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара
Посмотреть ответ
Плоскость a пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость B, параллельная плоскости a, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью a.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D - середина ребра СС1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости ADB1
Посмотреть ответ
Точка Е - середина ребра DD1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми СЕ и АС1.
Посмотреть ответ
На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС1=1:2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС1.
Посмотреть ответ
Точка Е — середина ребра СС1 куба ABCDA1B1C1D1 . Найдите угол между прямыми BE и AD.
Посмотреть ответ
В правильной шестиугольник призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 5, а боковые ребра равны 11, найдите расстояние от точки C до прямой A1F1.
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Посмотреть ответ
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB=3, AD=2, AA1=5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1.
Посмотреть ответ
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD.
Посмотреть ответ
Длина высоты SO правильной треугольной пирамиды SABC равна 1, а длины сторон основания ABC равны 2sqrt(6). Точки M и N - середины отрезков AC и AB. Вычислите радиус сферы, вписанной в пирамиду SAMN.
Посмотреть ответ
В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой FE1
Посмотреть ответ
В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой A1F1.
Посмотреть ответ
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки S до прямой BF.
Посмотреть ответ
В единичном кубе A..D1 найдите расстояние от точки B до прямой DA1.
Посмотреть ответ
На продолжении ребра ST за точку Т правильной четырехугольной пирамиды SPQRT с вершиной S взята точка В так, что расстояние от этой точки до плоскости SPQ равно 9sqrt(7)/2. Найти длину отрезка ВТ, если QR = 12, SR = 10.
Посмотреть ответ
В прямом параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 основанием служит ромб со стороной, равной а, угол АВС=120. Через сторону ВС и вершину А1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45. Найдите длину бокового ребра и площадь сечения.
Посмотреть ответ
Ребро куба равно корень из 6. Найдите расстояние между диагональю куба и диагональю любой из его граней.
Посмотреть ответ
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB=sqrt(3), боковое ребро SA = sqrt(7). Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCS.
Посмотреть ответ
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB=3, AD=2, AA1=5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1 .
Посмотреть ответ
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и основанием цилиндра.
Посмотреть ответ
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB1F1.
Посмотреть ответ
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 5, а боковые ребра равны 11, найдите расстояние от точки C до прямой A1F1.
Посмотреть ответ
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 2, диагональ боковой грани sqrt(5). Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Посмотреть ответ
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой А1D1 и плоскостью, проходящей через точки A1, D и M—середину ребра СС1.
Посмотреть ответ
Основанием треугольной пирамиды является равнобедренный треугольник со сторонами: 2, sqrt(10), sqrt(10). Высота пирамиды равна 4, а все боковые ребра наклонены к основанию пирамиды под углом A. Найдите tgA.

Посмотреть ответ
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S сторона основания равна 12, а боковое ребро наклонено к основанию под углом, квадрат тангенса которого равен 0,5. Найдите расстояние между ребрами АВ и SC.
Посмотреть ответ
Точка М— середина стороны ВС основания ABC правильной призмы ABCAlBlC1. Боковое ребро призмы равно 2sqrt(6), а сторона основания равна 4sqrt(3). Найдите угол между прямой В1М и плоскостью боковой грани ABB1А1
Посмотреть ответ
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Посмотреть ответ
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а двугранный угол при основании равен 45. Найдите объем пирамиды.
Посмотреть ответ