Задача 9747 С-5 1) Даны два угла AOB и COD с общей...
Условие
1) Даны два угла AOB и COD с общей вершиной...
2) Углы AOB и BOC смежные, OM - биссектриса угла AOB...
C-6
1) На рисунке 100...
С-7
1) На рисунке 101 OA=OC...
2) В треугольниках ABC = A1B1C1 AC=A1C
Решение
1) Пусть ∠COD=α, так как ∠АOD=∠ВOС=90°, то
∠АOС=∠ВOD=90°-α
∠AOB=∠AOC+∠COD+∠DOB
Разность
∠AOB-∠СOD=∠AOC+∠DOB=2•(90°-α)=180°-2α по условию равна 90°, т.е 180°-2α =90° ⇒ α =45°;
∠СOD=45°.
∠АOС=∠ВOD=90°-α=90°-45°=45°
∠AOB=45°+45°+45°=135°.
О т в е т. ∠СOD=45°;∠AOB=45°+45°+45°=135°.
2) ∠АOM=∠MOB так как ОМ - биссектриса.
Обозначим ∠АOM=∠MOB=α.
Так как ∠MON=90°, то ∠ВON=90°-α.
Сумма смежных углов равна 180°
∠АOM+∠MOB+∠ВON+∠NOC=180°
α+α+90°-α+∠NOC=180°⇒ ∠NOC=90°-α.
∠ВON=∠NOC=90°-α.
ON - биссектриса ∠ВОС.
С-6.
1)Δ АВD = Δ CBD ⇒значит соответственные элементы тоже равны. BD- общая сторона, AD=DC по условию, значит ∠BАD=∠BСD=90° , что и доказывает перпендикулярность ВС и СD.
∠АBD=∠СBD=55°.
2) Р(Δ АВЕ)=АВ+ВЕ+АЕ;
Р(Δ АЕС)=АЕ+ЕС+АС;
Так как Р(Δ АВЕ)больше Р(Δ АЕС) на 2, то
АВ+ВЕ+АЕ-(АЕ+ЕС+АС)=2; ВЕ=ЕС по условию.
АВ-АС=2
АВ=АС+2=8+2=10
О т в е т. АВ=10.
С-7
1)Δ АОВ = Δ ВОC по двум сторонам и углу между ними
ОА=ОС
ВО- общая сторона
∠AOB=∠BOС.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, в том числе ∠ABK=∠KBС.
2)Δ АВC = Δ A₁В₁C₁ по двум сторонам и углу между ними
АC=A₁С₁;
АB=A₁B₁;
∠A=∠A₁.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, в том числе ∠B=∠B₁;
BC=B₁C₁.
Так как BD=BC/3=B₁C₁/3=B₁D₁, то треугольники АВD и A₁B₁D₁ равны по двум сторонам и углу между
ними
АB=A₁B₁;
∠B=∠B₁;
BD=B₁D₁.
Из равенства треугольников следует равенство сторон.
AD=A₁D₁.
С-8.
1) Так как АВ=ВС, значит треугольник АВС - равнобедренный.
∠А=∠С.
Δ АЕС = Δ AFC по двум сторонам и углу между ними:
AC-общая;
АЕ=FC
∠А=∠С.
Из равенства треугольников следует равенство углов
∠АЕС=∠AFС.
2) Δ АСВ- равнобедренный, так как АС=СВ по построению.
Значит медиана CF является одновременно и биссектрисой.
CF - биссектриса ∠АСD
СЕ - биссектриса ∠АСВ.
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
см. задачу 2 С-5.