Задача 9630 Решить уравнение sinx+cosx=1-sin2x...
Условие
Решение
Замена переменной:
пусть sinx+cosx=t, тогда
t²=(sinx+cosx)²=sin²x+cos²x+2sinx•cosx=1+2sinx•cosx⇒
2sinx•cosx=t²-1.
Уравнение примет вид:
t=1-(t²-1);
t=1-t²+1;
t²+t-2=0.
D=1-4•(-2)=9
t₁=(-1+3)/2=1 или t₂=(-1-3)/2=-2.
при t=1
sinx+cosx=1
Применяем метод вспомогательного угла.
(1/sqrt(2))*sinx+(1/sqrt(2))*cosx=1/sqrt(2);
sin(Pi/4)*sinx+cos(Pi/4)*cosx=1/sqrt(2);
cos(x-(Pi/4))=1/sqrt(2);
x-(Pi/4)=±(Pi/4)+2Pin, n∈N
x=(Pi/4)±(Pi/4)+2Pin, n∈N
можно выделить две серии ответов:
x=(Pi/2)+2Pin или х=2Pin, n∈N
при t=-2
sinx+cosx= -2
так как -1≤ sin x≤1
и
-1≤ cosx x≤1
-2=-1-1
но sinx и cosx не могут одновременно принимать значение равное (-1)
Уравнение не имеет корней.
Ответ.(Pi/2)+2Pin; 2Pin; n∈N