Задача 9528 Дана правильная треугольная пирамида...
Условие
Решение
DA=DB=DC=√46;
АВ=ВС=АС=а; МО⊥пл. АВС; МО=H (пирамиды)=√19.
O- центр правильного треугольника, точка пересечения высот, медиан и биссектрис.
По теореме Пифагора
BO²=BD²-DO²=(√46)²-(√19)²=46-19=27;
BO=3√3.
BO=(2/3)BM (медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины)
ВМ=(3/2)•3√3=9√3/2.
BM=h(высота правильного треугольника АВС).
Так как
h=a√3/2 ( высота выражается через сторону), то
а=9.
АВ=ВС=АС=9.
См. рис. 2
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.
То есть, для того, чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, нужно
через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой.
Проводим TK || BD, соединяем точку К с точкой М. Плоскость BDC || плоскости КТМ.
Чтобы найти расстояние между прямыми BD и MT достаточно найти расстояние между параллельными плоскостями BDC и КТМ.
При этом МТ- средняя линия Δ DAC,
ТК- средняя линия Δ DВA,
КМ- средняя линия Δ АВС
Треугольники BDC и КТМ подобны с коэффициентом подобия 2.
Cм. рис. 3.
Проводим АF ⊥ ВC, BF=FC. DF⊥ ВC по теореме о трех перпендикулярах. Значит ВС⊥ пл. DFA, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Проводим АР⊥ DF.
Так как АР лежит в плоскости DFA, которая перпендикулярна ВС, то АР перпендикулярна ВС.
АР перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DBC, значит АР- перпендикуляр к плоскости DBC.
В силу подобия
AE⊥ KM, ТЕ⊥ КМ,AR⊥ TE.
АR- перпендикуляр к плоскости ТКМ.
RP- искомое расстояние.
Чтобы найти RP, найдем синус угла DFO из прямоугольного треугольника DFO.
DF²=DO²+OF²=(√19)²+(3√3/2)²=19+(27/4)=103/4
sin ∠DFO=DO/DF=√19/(√103/2)=2√19/√103.
Из прямоугольного треугольника АРF:
AP=AF•sin∠DFO=(9√3/2)•(2√19/√103).
RP=(1/2)AP=9√(57/103)
