Задача 9489 а) Решить уравнение...

slava191

21.06.2016

а) Решить уравнение 2log^2(4)(4cosx)-7log4(4cosx)+3 = 0
б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку [Pi/2; 2Pi]

SOVA

21.06.2016

★

ОДЗ: сosx>0
x- в 1-й или 4-й четверти:
(-π/2)+2πk < x <(π/2)+2πk, k - целое.
Замена переменной log₄(4cosx)=t;
2t²-7t+3=0
D=(-7)²-4•2•3=49-24=25
t=(7+5)/4=3 или t=(7-5)/4=1/2
log₄(4cosx)=3 или log₄(4cosx)=1/2
4cosx=4³ или 4cosx=√4
cosx=16 или сosx=1/2
16>1- первое уравнение не имеет корней.
cosx =1/2; (1/2)>0
x=±arccos(1/2)+2πk, k∈Z;
x=±(π/3)+2πk, k∈Z. Корни удовлетворяют ОДЗ.
О т в е т. а)±(π/3)+2πk, k∈Z.

б) Указанному промежутку удовлетворяет один корень
х=(-π/3)+2π=5π/3
О т в е т. 5π/3