Задача 9396 Решить неравенство log(1-1/(x-1)^2)...
Условие
Решение
1) Если основание больше 1, логарифмическая функция возрастает
1-(1/(х-1)^2) > 1⇒ -(1/(x-1)^2) > 0 - неравенство не выполняется ни при каком х
2) Если основание логарифмической функции больше 0, но меньше 1, логарифмическая функция убывает.
0 < 1-(1/(х-1)^2) < 1
или
{1-(1/(х-1)^2) > 0 ⇒ ((x-1)^2-1)/(x-1)^2 > 0 ⇒(x-1-1)(x-1+1)/(x-1)^2 > 0⇒x(x-2)/(x-1)^2 > 0;
{1-(1/(х-1)^2) < 1 ⇒ -(1/(x-1)^2) < 0 - верно при любом х≠1
_+__ (0) _-__ (1) _-__ (2) __+__
x∈ (- ∞;0)U(1;+ ∞)
Неравенство принимает вид:
(x^2+5x+8)/(x^2-3x+2) больше или равно 1;
(x^2+5x+8-x^2+3x-2)/(x^2-3x+2) больше или равно 0
(8x+6)/(x^2-3x+2) больше или равно 0
Применяем метод интервалов
нули числителя:
8х+6=0
х=-3/4
нули знаменателя
x^2-3x+2=0
D=9-8=1
x=1 или х=2
__-__ [-3/4] _+__ (1) __-__(2)__+___
х∈[3/4;1) U(2;+ ∞)
Пересечение двух множеств приводит к ответу:
[-3/4;0)U(2;+ ∞)
