Задача 9345 В равнобедренную трапецию периметр...

Zaya05

31.05.2016

В равнобедренную трапецию периметр которой разве 200, а площадь 2000 можно вписать окружность. Найти расстояние от точки пересечения диагоналей до её меньшего основания.

SOVA

01.06.2016

★

Пусть
AB=CD=c;
BC=a;
AD=b.
По условию
"в трапецию можно вписать окружность", значит суммы противолежащих сторон равны, т.е
a+b=c+c
По условию "периметр трапеции равен 200":
a+b+2c=200,
По условию
"площадь трапеции равна 2000":
(a+b)h/2=2000.
Заменим 2с на (a+b)
(a+b)+(a+b)=200,
(a+b)=100.
Найдем высоту:
h=2000:50=40.
2с=a+b=100, значит боковая сторона с=50.
Высоты, проведенные из вершин верхнего основания на нижнее делит трапецию на два равных прямоугольных треугольника с катетами h и (b-a)/2.
По теореме Пифагора 50²-40²=2500-1600=900=30².
(b-a)/2=30 или b=60+a
Так как a+b=100, a+60+a=100, 2а=40, a=20.
b=60+20=80
Обозначим расстояние от точки О до меньшей стороны ВС через x, тогда расстояние от точки О до большей стороны AD равно (40-х).

Из подобия треугольников ВОС и AOD
20:x=80:(40-x);
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:
(40-х)•20=80•x;
800-20x=80x;
800=100x;
x=8.
О т в е т. 8.