Задача 9321 В равнобедренную трапецию можно вписать...

DashaSedinina

28.05.2016

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её большего основания, если периметр трапеции равен 68, а площадь равна 255

SOVA

28.05.2016

★

Пусть
AB=CD=c;
BC=a;
AD=b.
По условию
"в трапецию можно вписать окружность", значит суммы противолежащих сторон равны, т.е
a+b=c+c
По условию "периметр трапеции равен 68":
a+b+2c=68,
По условию
"площадь трапеции равна 255":
(a+b)h/2=255,
(a+b)+(a+b)=68,
(a+b)=34,
h=255:17=15
(b-a)/2=8 ( по теореме Пифагора 17²-15²=289-225=64)
Значит a+(8+a+8)=34, а=9, b=25.
Обозначим расстояние от точки О до большей стороны AD x, тогда расстояние от точки О до меньшей стороны ВС равно (15-х).

Из подобия треугольников ВОС и AOD
9:(15-x)=25:x;
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:
(15-х)•25=9•x;
375-25x=9x;
375=25x+9x;
375=34x;
x=375/34=11 целых 1/34
О т в е т. 11 целых 1/34.