Задача 9281 Решить уравнение:2sin(3pi/2 - x)*sin(x -...
Условие
Отобрать значения на промежутке : [-5pi/2;7pi/2]
Решение
По формулам приведения
sin(3π/2 – x)=-cosx;
sin(x-π)=-sin(π-x)=-sinx.
Уравнение принимает вид:
2·(-cosx)·(-sinx)+√2·cosx=0;
√2·cosx·(√2·sinx+1)=0;
1)cosx=0⇒ x=(π/2)+πk, k∈Z.
или
2)sinx=-√2/2⇒ x=(-π/4)+2πn, n∈Z или x=(-3π/4)+2πm,m∈Z.
С помощью неравенств определим, какие корни принадлежат отрезку [–5π/2;7π/2]
1)
–5π/2≤(π/2)+πk≤7π/2, k∈Z;
-5/2≤(1/2)+k≤7/2, k∈Z;
(-5/2)-(1/2)≤k≤(7/2)-(1/2), k∈Z;
-3≤k≤2,k∈Z;
при k=-3 получаем корень (π/2)+π·(-3)=-5π/2;
при k=-2 получаем корень (π/2)+π·(-2)=-3π/2;
при k=-1 получаем корень (π/2)+π·(-1)=-π/2;
при k=0 получаем корень (π/2)+π·0=π/2;
при k=1 получаем корень (π/2)+π·1=3π/2;
при k=2 получаем корень (π/2)+π·2=π/2.
Указанному промежутку принадлежат корни:
(-5π/2); (-3π/2);(-π/2);(π/2);(3π/2);(5π/2);(7π/2)
2)–5π/2≤(-π/4)+2πn≤7π/2, n∈Z;
-5/2≤(-1/4)+2n≤7/2, n∈Z;
(-5/2)+(1/4)≤2n≤(7/2)+(1/4), n∈Z
(-9/4)≤2n≤(15/4), n∈Z;
(-9/8)≤n≤(15/8), n∈Z;
n=-1;0;1.
при n=-1 получаем корень (-π/4)+2π·(-1)=-9π/4;
при n=0 получаем корень (-π/4)+2π·0=-π/4;
при n=1 получаем корень (-π/4)+2π·1=7π/4;
Указанному промежутку принадлежат корни:
(-9π/4);(-π/4);(7π/4).
Или
–5π/2≤(-3π/4)+2πm≤7π/2, m∈Z;
-5/2≤(-3/4)+2m≤7/2, m∈Z;
(-5/2)+(3/4)≤2m≤(7/2)+(3/4), m∈Z
(-7/4)≤2m≤(17/4), m∈Z;
(-7/8)≤m≤(17/8), m∈Z;
m=0;1;2.
при m=0 получаем корень (-3π/4)+2π·0=-3π/4;
при m=1 получаем корень (-3π/4)+2π·1=5π/4;
при m=2 получаем корень (-3π/4)+2π·2=13π/4;
Указанному промежутку принадлежат корни:
(-3π/4);(5π/4);(13π/4);.
О т в е т.
a)(π/2)+πk;(-π/4)+2πn;(-3π/4)+2πm;k;n;m∈Z.
б)(-5π/2);(-9π/4); (-3π/2);(-3π/4);(-π/2);(-π/4);(π/2);(5π/4);(3π/2);(7π/4);(5π/2);(13π/4);(7π/2)- корни уравнения, принадлежащие отрезку [–5π/2;7π/2]