Задача 9261 В правильной четырехугольной пирамиде...

Vladislavabedna

22.05.2016

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD боковое ребро равно 8 и наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;
2) объем пирамиды;
3) угол между противоположными боковыми гранями;
4) скалярное произведение векторов (1/2)(MA+MC)*ME, где Е — середина DE
5) объем описанного около пирамиды шара;
6) * угол между боковым ребром ДМ и плоскостью DMC.

SOVA

22.05.2016

★

В основании пирамиды квадрат АВСD. МО- высота пирамиды. ( см. рис.) О- центр квадрата, точка пересечения диагоналей АС и BD.
В прямоугольном треугольнике МОС, ∠ МСО =60°, значит∠СМО=30°.
Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.
Поэтому ОС=4; АС=2ОС=8.
АС=BD=8 - диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны.
В точке пересечения делятся пополам. ОС=ОА=ОВ=OD=4
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОD:
AD²=AO²+OD²=4²+4²=32;
AD=4√2
АВ=ВС=СD=AD=4√2.
1) площадь боковой поверхности пирамиды
Находим апофему МE из треугольника МEС.
DE=EC=4√2/2=2√2; MC=8.
МE²=MC²-EC²=8²-(2√2)²=64-8=56.
ME=2√14.
S(бок)=4•S(Δ MDC)=4•DC•ME/2=4•(4√2)•2√(14)/2=
=32√7.

2) объем пирамиды
Из прямоугольного треугольника МОC по теореме Пифагора.
МО²=МC²-ОC²=8²-4²=48.
MO=Н=4√3.
V(пирамиды)=(1/3)S(осн.)•Н=
=(1/3)•(4√2)²•(4√3)=(128√3)/3.

3) Это угол образованный двумя апофемами боковых граней МE и МF и отрезком EF, соединяющим середины противоположных сторон квадрата и равным стороне квадрата.
По теореме косинусов:
EF²=ME²+MF²-2•ME•MF•cosα;
(4√2)²=(2√(14))²+(2√(14))²-2•2√(14)•2√(14)•сosα.
cosα=5/7.

4) скалярное произведение векторов (MA+MC)•ME.
Cумма вектров МА и МС - диагональ параллелограмма,построенного на этих векторах и выходящая из точки М. Половина этой диагонали - вектор МО
Скалярное произведение векторов 2MO и MЕ равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Угол между ними - это угол ОМЕ.
Из прямоугольного треугольника ОМЕ косинус угла ОМЕ равен отношению прилежащего катета МO к гипотенузе МЕ.
сos∠OME=MO/ME=4√3/2√14=2√3/√14.
Скалярное произведение указанных векторов равно
2•(4√3)•(2√14)•(2√3/√14)=96
5) площадь описанной около пирамиды сферы
Найдем радиус сферы. Это радиус окружности, описанной около треугольника АМС.
Треугольник АМС - равносторонний, МА=МС=АС=8.
По формуле
R=abc/4S=(8•8•8)/(4•(8•8•√3/4))=8√3/3
S=4πR²=4π•(8/√3)²=256π/3.
6) угол между АМ и плоскостью DMC
это угол между прямой АМ и ее проекцией на плоскость DMC.
Из точки А проводим перпендикуляр к плоскости DMC.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Этот перпендикуляр есть AD .
AD⊥СD ( стороны квадрата перпендикулярны)
AD⊥МК ( МК⊥СD).
Значит MD - проекция AM.
Угол AMD - между прямой AM и плоскостью MDC.
По теореме косинусов из треугольника AMD:
AD²=AM²+MD²-2•AM•MD•cosβ
(4√2)²=(8)²+(8)²-2•8•8•сosβ.
сosβ=3/4.