Задача 8578 Определите, имеют ли общие члены две...
Условие
A) 3; 16; 29; 42;... и 2; 19; 36; 53;...
Б) 5; 16; 27; 38;... и 8; 19; 30; 41;...
B) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у двух арифметических прогрессий 1; ...; 1000 и 9; ...; 999, если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.
Решение
3+13n, n- натуральное число
Вторая последовательность задана формулой
2+17k, k- натуральное число
Требуется решить уравнение в натуральных числах
3+13n=2+17k
или
1+13n=17k
При n=13 k=10
1+169=170 - верно.
О т в е т. А) есть это число 172.
Б) Первая последовательность задана формулой
5+11n, n- натуральное число
Вторая последовательность задана формулой
8+11k, k - натуральное число.
Эти последовательности отличаются одна от другой на 3.
Общих элементов нет.
-----5--------16--------27--------38-----
---------8--------19--------30--------41----
В) Первая последовательность задана формулой
1+d₁n, n- натуральное число
Вторая последовательность задана формулой
9+d₂k, k-натуральное число.
1+d₁n=1000⇒ d₁n=999. Значит,
возможны варианты
d₁=3 и n=333;
d₁=9 и n=111;
d₁=37 и n=28
d₁=111 и n=10 и т.д.
Ясно, что чем меньше n, тем меньше вероятность найти наибольшее число общих элементов.
9+d₂k=999⇒ d₂k=990. Значит,
возможны варианты
d₂=3 и k=330;
d₂=9 и k=110;
d₂=10 и k=99
т.д.
Ясно, что чем меньше k, тем меньше вероятность найти наибольшее число общих элементов.
d₁=d₂=3 не подходит, см Б)
с момента ----7---10----13---
-9---12----15--
будет "запаздывание" второй последовательности на 2 ед. отрезка.
общих элементов нет.
при d₁=d₂=9 аналогичная ситуация
Поэтому при d₁=10 и d₂=9 получим наибольшее количество общих элементов.
Это числа 19;109;190;199;289;379;469;559;649;739; 829;919.
Всего 12 чисел.
Ответ. 12 чисел.