Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 8572 а) Решите уравнение...

Условие

а) Решите уравнение 4^(1+sinx)-5*(sqrt(2))^(1+2sinx)+2 = 0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5Pi; 13Pi/2]

математика 10-11 класс 7003

Решение

4·4^(sinx)-5·√2·2^(sinx)+2=0.
Замена переменной 2^(sinx)=t
Квадратное уравнение
4·t²-5·√2·t+2=0;
D=(5√2)²-4·4·2=50-32=18;
t=(5√2-3√2)/8=√2/4 или t=(5√2+3√2)/8=√2.
Обратная замена
2^(sinx)=√2/4 или 2^(sinx)=√2;
2^(sinx)=2^(-1,5) или 2^(sinx)=2^(1/2);
sinx=-1,5 или sinx=1/2;
уравнение не имеет корней или x=(π/6)+2πn, n∈Z или х=(5π/6)+2πk, k∈Z.

Указанному промежутку принадлежит х=(π/6)+6π=37π/6

О т в е т. а) x=(π/6)+2πn, n∈Z или х=(5π/6)+2πk, k∈Z.б)х=(π/6)+6π=37π/6.

Все решения

а)4^(1+sinx)–5·(√2)^(1+2sinx)+2 = 0
(2^2)^(1+sinx)-5*(2^1/2)^(1+2sinx)+2=0
2^(2+2sinx)-5*2^(1/2+sinx)+2=0
2^2*2^(2sinx)-5*sqrt(2)*2^(sinx)+2=0
4*2^(2sinx)-5*sqrt(2)*2^(sinx)+2=0
Замена:2^(sinx)=t, t>0
4t^2-5*sqrt(2)t+2=0
D=(-5*sqrt(2))^2-4*4*2=50-32=18
t1=(5*sqrt(2)+3*sqrt(2))/(2*4)=8*sqrt(2)/8=sqrt(2)
t2=(5*sqrt(2)-3*sqrt(2))/(2*4)=2*sqrt(2)/8=sqrt(2)/4

2^(sinx)=sqrt(2)
2^(sinx)=2^(1/2)
sinx1=1/2
x1=(-1)^n*arcsin(1/2)+Пn=(-1)^2*П/6+Пn, n∈Z
2^sinx2=sqrt(2)/4
2^sinx2=2^(-1,5)
sinx2=-1,5, что невозможно

2)5п⩽п/6+2пn⩽13п/2
29п/6⩽2пn⩽38п/6
29/12⩽n⩽38/12
n=3, x=п/6+6п=37п/6

5п⩽5п/6+2пk⩽13п/2
25п/6⩽2пn⩽21п/6
25/12⩽n⩽21/12
n=∅

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК