Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 8453 А) Можно ли число 2016 представить в...

Условие

А) Можно ли число 2016 представить в виде суммы семи последовательных натуральных чисел?

A) Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных натуральных чисел?

B) Представьте число 2016 в виде суммы наибольшего количества последовательных чётных натуральных чисел.

математика 10-11 класс 7616

Решение

а)Пусть первое натуральное число n, второе (n+1), третье (n+2),..., седьмое (n+6).
Их сумма
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6)=2016,
7n+(1+2+3+4+5+6)=2016,
7n+21=2016,
7n=2016-21,
7n=1995,
7n=19•7•5•3
n=285
О т в е т. а) да; 285+286+287+288+289+290+291=2016.

б)Аналогично,
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)=2016,
6n + 15=2016,
6n=2001,
6n=3•667
левая часть кратна 2, правая нечетна, уравнение не имеет решений в натуральных числах.
О т в е т. б) нельзя.

в) 2n+(2n+2)+(2n+4)+...(2n+2k)=2016,
слева сумма (к+1) слагаемого, раскрываем скобки и перегруппировываем:
2n•(k+1)+(2+4+...+2k)=2016,
сумма арифметической прогрессии (2+4+...+2k)=(2+2k)•k/2;
2n•(k+1)+((2+2k)•k/2)=2016,
2n•(k+1)+(1+k)•k=2016;
(k+1)(2n+k)=2016.
Так как 2016=2•2•2•2•2•3•3•7;
возможны разные комбинации произведения справа
16•126; 96•21 и т.д. Условию задачи удовлетворяет случай 32•63

(k+1)(2n+k)=32•63

32- четное число, 63 - нечетное.
Значит и слева, один множитель четный, второй - нечетный.
если k+1=63 ⇒ k=62
2n+62=32 - уравнение не имеет натуральных корней.
если k+1=32 ⇒ k=31; 2n+k=63 ⇒ 2n=32

Ответ. Первое четное число 32, всего слагаемых 31.
32+34+36+...+94=2016

Все решения

а)да
б)нет
в)32+34+...+94=2016

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК