На сторонах AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём AK/KB=BL/LC=CM/MD=DN/NA.
а) Докажите, что четырёхугольник KLMN — параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.
б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN и ABCD, если известно, что AK/KB=2.
математика 10-11 класс
23305
а) Пусть диагональ NL четырёхугольника KLMN и диагональ AC параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 1). Треугольники AON и COL равны по стороне (AN = CL, так как эти отрезки составляют одну и ту же часть от равных отрезков AD и BC) и двум прилежащим к ней углам. Значит, OL = ON и AO = OC. Поэтому O — центр параллелограмма ABCD. Аналогично доказывается, что диагональ KM четырёхугольника KLMN проходит через точку O и делится ею пополам. Следовательно, KLMN — параллелограмм с центром O.
б) Обозначим S(ABCD) = S (рис. 2). Тогда
S△ABC=1/2*S, S△BKL=BK/BA*BL/BC*S△ABC=1/3*2/3*1/2*S=1/9*S
Аналогично S△MDN=1/9*S, S△MCL=1/9*S, S△KAN=1/9*S.
Значит,S(KLMN) = S − 4*1/9*S = 5/9S.
Следовательно, S(KLMN):S(ABCD) = 5 : 9.
Ответ: 5:9
Вопросы к решению (2)
почему BK/BA*BL/BC = 1/3*2/3?
Из какой теории вытекает такая формула?S△BKL=BK/BA·BL/BC·S△ABC
