Задача 7147 а) Решите уравнение 3^(sin^2x) +...

slava191

26.02.2016

а) Решите уравнение 3^(sin^2x) + 3^(cos^2x) = 4
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2Pi; 7Pi/2]

3^(sin^2x) + 3^(cos^2x) = 4
3^(sin^2x) + 3^(1-sin^2x) = 4

3^(sin^2x) + 3/3^(sin^2x) = 4 домножим на 3^(sin^2x)

3^(2sin^2x) + 3 - 4*3^(sin^2x) = 0

Пусть t=3^(sin^2x)

t^2 - 4t + 3 = 0

t=1, t=3

3^(sin^2x) = 1

sin^2x = 0

x = Pin, n - целое число

3^(sin^2x) = 3

sin^2x = 1

Применим формулу понижения степени

(1-cos2x)/2 = 1

1-cos2x = 2

-cos2x = 1

cos2x = -1

x = -Pi/2 + Pin
x = Pi/2 + Pin

б) Отбор корней через неравенства

2Pi <= Pin <= 7Pi/2

n = 2 -> 2Pi
n = 3 -> 3Pi

2Pi <= -Pi/2 + Pin <= 7Pi/2

n = 3 -> -Pi/2 + Pi*3 = 5Pi/2
n = 4 -> -Pi/2 + Pi*4 = 7Pi/2

2Pi <= Pi/2 + Pin <= 7Pi/2

n = 2 -> Pi/2 + Pi*2 = 5Pi/2
n = 3 -> Pi/2 + Pi*3 = 7Pi/2

Ответ: a) Pin, +/-Pi/2 + Pin, n-целое число. б) 2Pi, 3Pi, 5Pi/2, 7Pi/2