Задача 2511 Найдите все положительные значения а...

arseneva

15.12.2014

Найдите все положительные значения а при каждом из которых система имеет ровно одно решение system{(|X| - 5)^2 + (Y -12)^2= 4;(X + 1)^2 + Y^2 = a^2}

slava191

18.12.2014

данную задачу лучше всего решать графически, итак
первое уравнение представляет собой графики двух окружностей (из-за модуля их две). Центры в точках (-5,12) и (5,12) и радиусы r=2.
второе уравнение это также окружность с центром в точке (-1,0) и радиусом R=a.
Нам нужно найти такие а, при которых система имеет одно решение. Для того чтобы система имела одно решение, графики должны пересекаться в одной точке, т.е. нужно найти такие радиусы второй окружности при которых она касается графиков первых двух окружностей внешним или внутренним образов. Все это наносим на график и находим эти радиусы как в элементарной геометрической задаче.
Первый случай (касается внешним образом левую окружность)
гипотенуза = sqrt(4^2+12^2)=sqrt(160)
радиус R=sqrt(160)-r=sqrt(160)-2=4sqrt(10)-2
Второй случай
гипотенуза = sqrt(12^2+6^2)=sqrt(180)=2sqrt(45)
R=2sqrt(45)+2
Итак, ответ: при а=4sqrt(10)-2 и а=2sqrt(45)+2