Задача 16263 ...

Geniys

04.06.2017

а)Решите уравнение sin (3x)= 2 sin (3π/2+x)
б)Найдите все корни этого уравнения принадлежащего промежутку (-3π/2;0]

Решим левую и правую часть по отдельности
1) cos (3x) =cos (2x+x)=cos(2x)*cos(x)- sin(2x)*sin(x)=(cos^2(x)-sin^2(x))*cos(x)- 2sin^2(x)*cosx=(2cos^2(x)-1)*cos(x)-2cosx(1-cos^2(x))=4cos^3(x)-3cos(x);
(Используются тригонометрические формулы)

2) 2 cos (3π/2+x) = -2 cos (x); (формулы приведения)

3)В итоге получим равенство 4cos^3(x)-3cos(x)=-2 cos (x)
cos(x)*(4cos^2(x)-1)=0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

3.1 cos(x)=0
x=π/2+2πn, n- принадлежит множеству целых чисел (Z)

3.2 4cos^2(x)-1=0
cos^2(x)=1/4
cos(x)=+1/2 и cos(x)=-1/2 (т.к. извлекаем корень)
x=+π/3+2π/n и x=-π/3+2π/n, где n- принадлежит множеству целых чисел (Z)

Отбор корней на рисунке.
1)Отмечаем точки x=+π/3+2π/n и x=-π/3+2π/n и x=π/2+2πn
2)Отмечаем интервал (-3π/2;0]
3)Отбираем нужные точки. Обратите внимание, точка -3π/2 не включена в интервал.


Ответ: А)x=+π/3+2π/n и x=-π/3+2π/n и x=π/2+2πn, где n- принадлежит множеству целых чисел (Z); Б) -4π/3; -2π/3; -π/2; -π/3