Задача 16166 Решите неравенство...
Условие
Все решения
{4+3x-х^2 > 0 ⇒ x^2-3x-4 < 0
D=(-3)^2-4*(-4)=9+16=25
x1=(3-5)/2=-1 или х2=(3+5)/2=4 ⇒ -1 < x < 4 или х > 4
ОДЗ: x∈(-1;4)
По формуле перехода к другому основанию:
log_(0,5)(4+3x-x^2)=log_(2)(4+3x-x^2)/log_(2)(0,5)=
=log_(2)(4+3x-x^2)/log_(2)(1/2)=-log_(2)(4+3x-x^2)
Неравенство принимает вид:
log^2_(2)(4+3x-x^2)-7log_(2)(4+3x-x^2) +10 > 0
или
t^2-7t+10 > 0
t=log_(2)(4+3x-x^2)
D=(-7)^2-4*10=49-40=9
t1=2 или t2=5
Решение неравенства:
t < 2 или t > 5
Обратная замена
log_(2)(4+3x-x^2) < 2 или log_(2)(4+3x-x^2) > 5
log_(2)(4+3x-x^2) < log_(2)4 или log_(2)(4+3x-x^2) > log_(2)32
Так как основание логарифмической функции 2 > 1, логарифмическая функция возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента
4+3x-x^2 < 4 или 4+3x-x^2 > 32;
x^2-3x > 0 или x^2-3x+28 < 0
x(x-3) > 0 или D=(-3)^2-4*28 < 0
x < 0 или x > 3 или неравенство не выполняется ни при каком х
х∈(-бесконечность;0)U(3;+бесконечность)
С учетом ОДЗ:
х∈(-1;0)U(3;4)
О т в е т. (-1;0)U(3;4)