Задача 15675 Доказать сходимость ряда и найти его...
Условие
Решение
lim_(n→∞)a_(n+1)/a_(n)=
=lim_(n→∞)((2^(n+1)+7^(n+1))/14^(n+1)):((2^n+7^n)/14^n)=
=(1/14)*lim_(n→∞)(2^(n+1)+7^(n+1))/(2^n+7^n)=
( делим и числитель и знаменатель на 7^n)
=(1/14)*lim_(n→∞)(2*(2/7)^n+7))/(2/7)^n+1)=
=(1/14)*(2*0+7)/(0+1)=7/14=1/2 < 1
lim_(n→∞)(2/7)^n= 0
Со сходящимся знакоположительным рядом можно обращаться так же как с конечными суммами.
В данном случаем можно записать общий член ряда в виде:
(2^n+7^n)/14^n=(2/14)^n+(7/14)^n
Значит можно перегруппировать слагаемые и рассматривать ряд как сумму двух рядов.
С общим членом
(2/14)^n=(1/7)^n
и
(7/14)^n=(1/2)^n
Каждый ряд представляет из себя сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
S1=(1/7)/(1-(1/7))=(1/7)/(6/7)=1/6
S2=(1/2)/(1-(1/2))=(1/2)/(1/2)=1
S=S1+S2=(1/6)+1=7/6