Задача 15616 В треугольнике ABC площадь равна S,...
Условие
Решение
S(Δ ABC)= (1/2) AC*H
(1/2) AC*H= S ⇒ AC*H=2S
S(Δ MBK)=(1/2) MK*h
Выразим МК через АС, h через H.
Медины треугольника AВС пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершин.
Пусть О- точка пересечения медиан.
АО:OF=2:1 ⇒ AO=2OF
AM=MF ( по условию М- середина AF).
Пусть OF=2x, тогда АО=2OF=4x
AF=6x
AM=3x
MO=x
Аналогично
СH=6y; CK=3y; OK=y
Треугольники МОК и АОС подобны, так как угол АОС общий, а стороны, образующие этот угол пропорциональны.
МК:АС=МО:АО=КО:СО=1:4
МК=(1/4) АС
Треугольники АОС и АВС имеют общее основание АС,
поэтому высоты этих треугольников относятся как 1:3
Высота треугольника АОC=H/3
Высота треугольника МОК равна (1/4)высоты треугольника АОС и равна H/12
Высота трапеции МАКС равна (Н/3)-(Н/12)=3Н/12=H/4
h=H-(H/4)=3H/4
S(Δ MBK)=(1/2) MK*h=(1/2)*((1/4)AC)*(3H/4)=
=(3/32)*AC*H=(3/32)*2S=(3/16)S
О т в е т. (3/16)S