Задача 15421 ...
Условие
∫(3x-1)/sqrt(2x+1) dx
математика ВУЗ
1279
Решение
★
u=4x-1
dv=e^(-2x)dx
тогда
du=(4x-1)`dx=4dx
v=∫e^(-2x)dx=∫e^(-2x)d(-2x)/(-2)=-(1/2)∫e^(-2x)d(-2x)=
=(-1/2)e^(-2x) ( C полагают равным 0).
По формуле
∫udv=u*v-∫vdu получаем
=(4х-1)*(-1/2)e^(-2х)- ∫(-1/2)e^(-2x)*4dx=
=-((4x-1)*e^(-2x)/2)+2∫e^(-2x)dx=
=-((4x-1)*e^(-2x)/2)+2∫e^(-2x)d(-2x)/(-2)=
=-((4x-1)*e^(-2x)/2)-e^(-2x)+C
5) Замена переменной
sqrt(2x+1)=t
2x+1=t^2
2x=t^2-1
x=(1/2)*(t^2-1)
dx=(1/2)*2tdt
dx=tdt
3x+1=3*(1/2)(t^2-1)+1=(3/2)t^2-(1/2)
=∫((3/2)t^2-(1/2))*tdt/t=(3/2)∫t^2dt-(1/2)∫dt=
=t^3/3-(1/2)t+C=
=(sqrt(2x+1))^3/3 - (1/2)sqrt(2x+1)+C