Задача 15288 sin2x = cos^4(x/2)-sin^4(x/2)...
Условие
Решение
sin2x=(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))*(cos^2(x/2)+sin^2(x/2));
sin2x=(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))*1;
sin2x=cosx
2sinx*cosx-cosx=0
cosx(2sinx-1)=0
cosx=0 или 2sinx-1=0
x= (π/2)+πk, k∈Z или
x=(π/6)+2πm, m∈Z; x=(5π/6)+2πn, n∈Z
О т в е т. (π/2)+πk, (π/6)+2πm, (5π/6)+2πn, k, m, n∈Z
8.
2*sqrt((1/2)+cosx)=(1/2)+cosx
ОДЗ:
(1/2)+cosx больше или равно 0;
cosx больше или равно (-1/2);
(-2π/3)+2πk меньше или равно х меньше или равно (4π/3)+2πk, k∈Z
Возводим уравнение в квадрат.
4*(sqrt((1/2)+cosx))^2=((1/2)+cosx)^2;
4*((1/2)+cosx)-((1/2))+cosx)^2=0;
((1/2)+cosx)*(4-(1/2)-cosx)=0
cosx=-1/2 или cosx=-3,5 ( уравнение не имеет корней)
х=± (2π/3)+2πk, k∈Z удовл. ОДЗ.
О т в е т. ± (2π/3)+2πk, k∈Z
9.
cos9x-cos7x+cos3x-cosx=0;
(cos9x+cos3x)-(cos7x+cosx)=0;
2cos6x*cos3x-2cos4xcos3x=0
2cos3x*(cos6x-cos4x)=0
2cos3x*(-2sin5x*sinx)=0
cos3x=0 или sin5x=0 или sinx=0
3x=(π/2)+πk, k∈Z или 5x=πm, m∈Z или х=πn, n∈Z
x=(π/6)+(π/3)*k, k∈Z или x=(π/5)*m, m∈Z или х=πn,
n∈Z
при m=5n третий ответ включается во второй, поэтому третий в ответе не пишем.
О т в е т. (π/6)+(π/3)*k; (π/5)*m; k,m∈Z