Задача 15262 Решите неравенство log(x)(log9(3^x-9)) <...
Условие
Решение
{x > 0;
{x≠1;
{3^x-9 > 0 ⇒ 3^x > 3^2 ⇒x > 2
{log_(9)(3^x-9) ⇒ 3^x -9 > 1 ⇒ 3^x > 10 ⇒ x > log_(3)10
ОДЗ: x > log_(3) 10
Заменим 1=log_(x)x
log_(x)(log_(9)(3^x–9)) < log_(x)x
При х > 2 логарифмическая функция с основанием 2 возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
log_(9)(3^x-9) < x
log_(9)(3^x-9) < x*1, заменим 1=log_(9)9
log_(9)(3^x-9) < x*log_(9)9
Применяем свойство логарифма степени
log_(9)(3^x-9) < log_(9)9^x
Логарифмическая функция с основанием 9 возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
3^x-9 < 9^x
Замена переменной
3^x=t
t > 0
9^x=t^2
t^2-t+9 > 0
D=1-4*9 < 0
Неравенство верно при любом t > 0
C учетом ОДЗ получаем
О т в е т. x > log_(3)10