Задача 15252 Найдите наибольшее значение функции...

slava191

23.04.2017

Найдите наибольшее значение функции y=7-sqrt(2)sin(Pi/5-x) на отрезке [-7Pi/15; -Pi/20]

SOVA

23.04.2017

★

y=7-sqrt(2)sin((π/5)–x)
в силу нечетности синуса можно записать так
у=7+sqrt(2)sin(x-(π/5)).
y`=sqrt(2) cos(x-(π/5))*(x-(π/5))`=sqrt(2) cos(x-(π/5))
y`=0
sqrt(2) cos(x-(π/5))=0
x-(π/5)=(π/2)+πk, k∈Z
x=(π/5)+(π/2)+πk, k∈Z
x=(7π/10)+πk, k∈Z

x=(7π/10)-π=-3π/10 ∈ [–7π/15; –π/20]- единственная точка возможного экстремума, принадлежащая этому промежутку.
–7π/15=-28π/60 < -18π/60 < –3π/60
Проверяем знак производной
х=-3π/10- точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
( см. график производной)
Значит наибольшее значение функция может принимать на концах отрезка
у(–7π/15)=7-sqrt(2)*sin((π/5)–(–7π/15))=
=7-sqrt(2)sin(10π/15)=7-sqrt(2)sin(2π/3)=7-(sqrt(6)/2)
y(–π/20)=7-sqrt(2)*sin((π/5)–(-π/20))=
=7-sqrt(2)sin(5π/20)=7-sqrt(2)sin(π/4)=
=7-(sqrt(2)*sqrt(2))/(2)=7-1=6 - наибольшее значение функции
О т в е т. 6