Задача 15243 4^(log^2_(4)x) + x^(log4x) больше или...

ruzhik_0690

23.04.2017

4^(log^2_(4)x) + x^(log4x) больше или равно 2 4 корня из 4

SOVA

23.04.2017

ОДЗ: x > 0, x≠1

4^(log^2_(4)x)=(4^(log_(4)x))^(log_(4)x)=x^(log_(4)x)

x^(log_(4)x)+x^(log_(4)x) больше или равно 2*4^(1/4)

2*x^(log_(4)x) больше или равно 2^(3/2)
x^(log_(4)x) больше или равно 2^(1/2)

Логарифмируем обе части неравенства по основанию 4:
log_(4)x^(log_(4)x) больше или равно log_(4)2^(1/2)
(log_(4)x)*log_(4)x больше или равно log_(2^2)2^(1/2)
(log_(4)x)^2 больше или равно (1/2)/(2)log_(2)2
(log_(4)x)^2 больше или равно (1/4)
(log_(4)x)^2 -(1/4) больше или равно 0
(log_(4)x)^2 -(1/2)^2 больше или равно 0
(log_(4)x -(1/2))*(log_(4)x+(1/2)) больше или равно 0
log_(4)x меньше или равно (-1/2) или log_(4)x больше или равно(1/2)
log_(4)x меньше или равно (-1/2)*log_(4)4 или log_(4)x больше или равно(1/2)*log_(4)4
log_(4)x меньше или равно log_(4)4^(-1/2) или log_(4)x больше или равно log_(4)4^(1/2)
x меньше или равно 4^(-1/2)=1/2 или x больше или равно 4^(1/2)=2
C учетом ОДЗ
О т в е т. (0;1/2)U(1/2;1)U(1;2)