Задача 15238 Точка М - середина гипотенузы АВ...

slava191

22.04.2017

Точка М - середина гипотенузы АВ треугольника АВС. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет ВС в точке N.

а) Докажите, что угол CAN = углу CMN

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если tgBAC = 4/3

SOVA

23.04.2017

★

а)
∠АMN=90 градусов; ∠ACN= 90 градусов.
Сумма противоположных углов четырехугольника СNMA равна 180 градусов, значит около четырехугольника CNMA можно описать окружность.
∠СMN=∠CAN как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу NC.
б)
Так как точка М- середина гипотенузы является центром окружности, описанной около треугольника АВС, то
ВM=AM=CM

Треугольник CMB - равнобедренный, так как СM=BM.

Треугольник ANB - равнобедренный, так как NM - серединный перпендикуляр к АВ, поэтому BN=AN.

Угол В в этих треугольниках общий.

По теореме синусов из треугольника АNB
BN/sin∠B=2R1, R1- радиус окружности, описанной около треугольника ANB.
По теореме синусов из треугольника СМВ:
СM/sin ∠B=2R2
R2- радиус окружности, описанной около треугольника СМВ

Значит
R1/R2=BN/CM, так как СМ=ВМ.
R1/R2=BN/BM

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВNM:
cos∠B=BM/BN
R1/R2=1/cos∠B

По условию
tg∠A=4/3 ⇒ 1+tg^2∠A=1/cos^2∠A
значит
cos^2∠A=1/(1+tg^2∠A)=1/(1+(4/3)^2)=9/25
так как угол А -острый, то cos∠A=3/5
sin∠A=4/5
sin∠A=cos∠B

R1/R2=1/cos∠B=1/(4/5)=5/4
О т в е т. 5/4