Задача 15231 Решите неравенство...

slava191

22.04.2017

Решите неравенство (1/2)log(4+x)(x^2+2x+1)+log(-x-1)(-x^2-5x-4) меньше или равно 3

SOVA

23.04.2017

★

ОДЗ:
{4+x > 0 ⇒ x > -4
{4+x≠ 1 ⇒ x≠ -3
{-x-1 > 0 ⇒ x < -1
{-x-1≠ 1 ⇒ x≠ -2
{x^2+2x+1 > 0 ⇒ x≠ -1
{-x^2-5x-4 > 0 ⇒ D=25-16=9; корни (-1)и (-4) ⇒-4 < x < -1
ОДЗ: (-4;-3)U(-3;-2)U(-2;-1)

(1/2)log_(4+x)(x^2+2x+1)=log_(4+x)((x+1)^2)^(1/2)=
=log_(4+x)|x+1|=lоg_(4+x)(-x-1), так как на (-4;-3)U(-3;-2)U(-2;-1)
|x+1|=-x-1
log_(–x–1)(–x2–5x–4)=log_(-x-1)(-x-1)(4+x)=
=log_(-x-1)(-x-1) +log_(-x-1)(4+x)=
=1+log_(-x-1)(4+x)
Неравенство принимает вид:
lоg_(4+x)(-x-1)+1+log_(-x-1)(4+x) меньше или равно 3;
lоg_(4+x)(-x-1)+log_(-x-1)(4+x)-2 меньше или равно 0.
Замена переменной
log_(-x-1)(4+x)=t
log_(-x-1)(4+x)=1/t
(t^2-2t+1)/t меньше или равно 0
(t-1)^2/t меньше или равно 0
_-__ (0) _+__ [1]_+__
t < 0 или t=1
log_(4+x)(-x-1) < 0 или log_(4+x)(-x-1)=1
1)
log_(4+x)(-x-1) < 0
log_(4+x)(-x-1) < log_(4+x)1
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(4+х-1)*(-x-1-1) < 0
(x+3)*(-x-2) < 0
_-__ (-3) _+__ (-2)__-_
x < -3 или х > -2
C учетом ОДЗ
о т в е т. 1) (-4;-3) U(-2;-1)
2)
log_(4+x)(-x-1)=1
4+x=-x-1
2x=-4-1
x=-2,5∈ ОДЗ
о т в е т 2) -2,5
О т в е т. (-4;-3) U{-2,5}U(-2;-1)