Задача 14607 Все на картинке...
Условие
Решение
lim_(x→∞)(9-(7/x^2)+(3/x^10))/(2-(4/x^9)+(1/x^11))=
=(9-0+0)/(2-0+0)=9/2=4,5
2) неопределенность (0/0). Раскладываем на множители числитель:
x^2-25=(x-5)(x+5)
и знаменатель:
2x^2-6x-20=0
D=36-4*2*(20)=196
x=(6-14)/4=-2 или х=(6+14)/4=5
2x^2-6x-20=2*(х+2)(х-5), получим
lim_(x→5)(х-5)(х+5)/(2(х+2)(х-5))=lim_(x→5)(х+5)/(2(х+2))
=10/(2*7)=10/14=5/7
3)
Неопределенность 0/0.
Умножаем и числитель и знаменатель на (sqrt(1+3x)+4)
получим
lim_(x→5)(sqrt(1+3x)-4)(sqrt(1+3x)+4)/((х-5)(sqrt(1+3x)+4))=
=lim_(x→5)(sqrt(1+3x))^2-4^2)/((х-5)(sqrt(1+3x)+4))=
=lim_(x→5)(1+3x-16)/((х-5)(sqrt(1+3x)+4))=
=lim_(x→5)(3x-15)/((х-5)(sqrt(1+3x)+4))=
=lim_(x→5)(3(x-5))/((х-5)(sqrt(1+3x)+4))=
=lim_(x→5)3/(sqrt(1+3x)+4)=3/(4+4)=3/8
4) lim_(x→0)(tg5x)/(sin7x)=(0/0)= применяем первый замечательный предел и следствия из него:
=lim_(x→0)((tg5x)/(5x))*(7х/sin7x)*(5/7)=5/7.
5) Применяем второй замечательный предел.
lim_(t→∞)(1+(1/t)^(t)=e
t=(-x/7)
lim_(x→∞)(1-(7/x)^(x+1)=lim_(x→∞)((1+(1/(-x/7))^(-x/7))^(-7/x)*(x+1))=
=e^(lim_(x→∞)((-7x-7)/x)=e^(-7)
6) Неопределенность (∞-∞).
Умножаем и числитель и знаменатель на (sqrt(3x^2+7x+2)+sqrt(3x))
получим
lim_(x→∞) (sqrt(3x^2+7x+2)-sqrt(3)x) (sqrt(3x^2+7x+2)+sqrt(3)x)/(sqrt(3x^2+7x+2)+sqrt(3)x)=
=lim_(x→∞) ((sqrt(3x^2+7x+2))^2-(sqrt(3)x)^2) /(sqrt(3x^2+7x+2)+sqrt(3)x)=
=lim_(x→∞) (3x^2+7x+2-3x^2) /(sqrt(3x^2+7x+2)+sqrt(3)x)=
=lim_(x→∞) (7x+2) /(sqrt(3x^2+7x+2)+sqrt(3)x)=
(неопределенность∞/∞)
делим и числитель и знаменатель на х почленно
= lim_(x→∞) (7+(2/x)) /(sqrt(3+(7/x)+(2/x^2))+sqrt(3))=
=7/2sqrt(3).