r - радиус основания цилиндра, который равен радиусу меньшего конуса, отсекаемого верхним основанием цилиндра.
h- высота меньшего конуса.
Из подобия:
r/R=h/H.
Значит, высота цилиндра
H - h = r*H/R;
отсюда h = H - (r*H/R) = H*(R - r)/R
V(цилиндра) = πr^2*(H-h) = π *r^2*(H/R)*(R - r) =
=π *r^2*H - π r^3*(H/R)
V(r)=π *r^2*H - π r^3*(H/R)
Исследуем функцию V(r) на экстремум при условии, что
V(конуса)=(1/3)*π R^2*H;
72=(1/3)*π R^2*H ⇒ π R^2*H =216
Находим производную
V'(r) = 2π *H*r - 3π *H/R*r^2 = π *H*r*(2 - 3*r/R) = 0
V`(r)=0
2 - 3*r/R = 0;
r = 2/3*R ⇒ r^2=(4/9)R^2 и r^3*(H/R)=(8/27)R^3*(H/R)=
=(8/27)R^2H
Тогда
V(цилиндра) =π *r^2*H - π r^3*(H/R) =
=π *(4/9)R^2*H-π*(8/27)R^2*H
= 4/27*π *R^2*H = (4/27)*216 = 4*8 = 32