Задача 13856 ...

slava191

18.02.2017

а) Решите уравнение: cos((4/3)Pisinx)=-1/2
б) Найти сумму решений, удовлетворяющих неравенству: |x+2Pi/3| меньше или равно Pi/2

SOVA

18.02.2017

★

cos((4/3)πsinx)=–1/2

(4/3)πsinx=± (2π/3)+2πk, k∈Z

sinx= ± (1/2)+3k/2, k∈Z

| ± (1/2)+3k/2)| меньше или равно 1
при k=0
sinx=-1/2 или sinx=1/2
при k=1
sinx=1 или sinx=2
при k=-1
sinx=-1 или sinx=-2

sinx=-1/2
x=(-π/6)+2πk, k∈Z или x=(-5π/6)+2πn, n∈Z
sinx=1/2
x=(π/6)+2πk, k∈Z или x=(5π/6)+2πn, n∈Z
sinx=1
x=(π/2)+2πm, m∈Z
sinx=-1
x=(-π/2)+2πm, m∈Z

О т в е т. а)±(π/6)+2πk,± (5π/6)+2πn,
±(π/2)+2πm, k, n, m∈Z ( см. рис. 1)

б)Неравенство
-π/2≤ x+2π/3 ≤ π/2
задает интервал
- (π/2) - (2π/3)≤ x ≤ (π/2) - (2π/3)
или
- (7π/6)≤ x ≤ (-π/6)

Указанному промежутку принадлежат корни:
-π/6; -π/2; -5π/6; -7π/6.
cм рис. 2
Их сумма
(-π/6)+(-π/2)+(-5π/6)+(-7π/6)=-16π/6=-8π/3.

О т в е т.б) -8π/3.