Задача 13717 Алгебра 10 класс, логарифмы. В1 с 3-5...
Условие
Решение
{x+2 > 0
{x > 0, x≠1
x∈(0;1)U(1;+ ∞)
В условиях ОДЗ неравенство принимает вид
log_(x)(x+2) > log_(x)x^2
Применяя метод рационализации логарифмических неравенств, получаем неравенство:
(x-1)*(x+2-x^2) > 0
(x-1)(x-2)(x+1) < 0
_-__ (-1) _+__ (1) _-__ (2) __+_
С учетом ОДЗ получаем ответ (1;2).
3б)
1=log_(5)5
{x > 0
{log^2_(0,5)x+log_(0,5)x-3 > 0;
{log^2_(0,5)x+log_(0,5)x-3 > 5.
{x > 0
{log^2_(0,5)x+log_(0,5)x-3 > 5.
Замена переменной
log_(0,5)x=t
t^2+2t-8 > 0
D=4+32=36
t1=(-2-6)/2=-4 или t2=(-2+6)/2=2
t < -4 или t > 2
log_(0,5)x < -4 или log_(0,5)x > 2
x > 0,5^(-4) или 0 < x < 0,5^2
О т в е т. (0;1/4)U(16;+ бесконечность)
4а)
3^(log_(3)y)=y - основное логарифмическое тождество, y > 0
{y-log_(3)x=1 ⇒ y=1+ log_(3)x;
{x^y=3^(12) ⇒y=log_(x)3^(12)⇒y=12log_(x)3
1+log_(3)x=12 log_(x)3
log_(3)x=t, t≠0
log_(x)3=1/t
1+t=12/t
t^2+t-12=0
D =49
t=-4 или t=3
log_(3)x=-4 или log_(3)x=3
x1=3^(-4) или х2=3^3
x1=1/81 или х2=27
у1=1+ log_(3)(3^(-4) или у2=1+log_(3)3^3
y1=1-4 < 0 -не уд усл. у > 0 или y2=1+3=4
О т в е т. (27;4)
5а)
ОДЗ:
{x-2 > 0
{x+1 > 0
ОДЗ: x > 2
x^2-x-2=(x+1)(x-2)
log_(2)(x^2-x-2)=log_(2)(x+1)+log_(2)(x-2)
Уравнение
log_(2)(x+1)+log_(2)(x-2)=1+log_(2)(x+1)*log_(2)(x-2)
log_(2)(x+1)*(1-log_(2)(x-2))-(1-log_(2)(x-2))=0
(1-log_(2)(x-2))*(log_(2)(x+1)-1)=0
log_(2)(x-2)=1 или log_(2)(x+1)=1
x-2=2 или х+1=2
х=4 или х=1
С учетом ОДЗ
О т в е т. х=4