Задача 13702 Логарифмические неравенства 1)...
Условие
1) 3log^2_(4)x-7log416x+30 < 0
Решение
ОДЗ: x > 0
Замена переменной log_(4)x=t,
3t^2-7t+16 < 0
D=49-4*3*16 < 0
Неравенство не имеет решений, так как 3 > 0, ветви параболы у=3t^2-7t+16 направлены вверх и не пересекают ось Ох.
3t^2-7t+16 > 0 при любом t.
2) ОДЗ:
{x > 0
{2-log_(0,5)x≠0 ⇒log_(0,5)x≠2 ⇒x≠0,5^2 ⇒x≠0,25.
x∈(0;0,25)U(0,25;+ ∞)
Замена переменной log_(0,5)x=t.
3t/(2-t) больше или равно 2t+1;
(3t-(2t+1)*(2-t))/(2t+1) больше или равно 0;
(2t^2+2)/(2t+1) больше или равно 0;
так как t^2+1 > 0 при любом t, то
2t+1 > 0
t > -1/2
log_(0,5)x > -1/2
log_(0,5)x > log_(0,5)(0,5)^(-1/2)
x < 0,5^(-1/2)
0,5^(-1/2)=(2^(-1))^(-1/2)=2^(1/2)=sqrt(2)
C учетом ОДЗ
х∈(0;0,25)U(0,25;sqrt(2))
3)
ОДЗ:
{x+6 > 0 ⇒x > -6
{6-x^2 > 0 ⇒ -sqrt(6) < x < sqrt(6)
По формуле
log_(a^k)b=(1/k)log_(a)b, 0 < a≠1, b > 0
0,25/(1/4)log_(3)(x+6) меньше или равно log_(3)(6-x^2);
log_(3)(x+6) меньше или равно log_(3)(6-x^2)
3 > 1, логарифмическая функция возрастает.
х+6 больше или равно 6-x^2;
x^2+x больше или равно 0
x(x+2) больше или равно 0
_+__ ]-2] _-__ [0] ___ +__
x∈(-∞; -2]U[0;+ ∞)
C учетом ОДЗ
(-sqrt(6);-2] U[0; sqrt(6))
Целочисленные решения:
-2; 0; 1;2