Задача 13654 ...

slava191

11.02.2017

В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и CQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника АВС равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка РQ равна 2sqrt(2)

а) Доказать, что треугольники QBP и СВА подобны.

б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

SOVA

12.02.2017

★

а)
Прямоугольные треугольники АВР и СBQ подобны по двум углам:
∠B- общий
∠APB=∠CQB=90 градусов.
Из подобия:
BP:BQ=АВ:ВC

Треугольники QBP и СВА подобны,
∠В - общий,
стороны заключающие этот угол пропорциональны
BP:BQ=АВ:ВC ⇒ BP:AB=BQ:AC=k

б)
Так как в треугольнике АВР:
cos∠B=BP:AB
В треугольнике CBQ
cos∠B=BQ:AC
k(подобия) = cos ∠B

S(Δ QBP) : S(Δ ABC)=k^2
2:18=k^2
k=1/3 или k=-1/3 ( cos∠B=-1/3 не удовлетворяет условию задачи, треугольник остроугольный)

PQ:AC=k
AC=PQ/k=2sqrt(2)/(1/3)=6sqrt(2)

sin∠B=sqrt(1-cos^2∠B)=sqrt(1-(1/9))=2sqrt(2)/3
По теореме синусов
АС/sin∠B=2R
2R=6sqrt(2)/(2sqrt(2)/3)
2R=9
R=9/2
R=4,5
О т в е т. б) R=4,5