Задача 13584 Отношение объёма пирамиды конуса к...

vk298601538

09.02.2017

Отношение объёма пирамиды конуса к обьему вписанного в конус шара равно 8:3. Найдите величину угла при вершине осевого сечения конуса

SOVA

09.02.2017

★

Осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник АВС.
АВ=ВС - образующие.
BD- высота конуса, а также высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника.
О-центр вписанной в треугольник АВС окружности и центр вписанного в конус шара
ОD=r
AD=R
Из прямоугольного треугольника
tg∠OAD=r/R
ОА- биссектриса угла ВAD, так как центр вписанной в треугольник окружности- точка пересечения биссектрис.
По формуле tg2α=2tgα/(1-tg^2α)
tg∠BAD=(2r/R)/(1-(r/R)^2)=2rR/(R^2-r^2)
Из прямоугольного треугольника ВАD
H=BD=AD*tg∠BAD=2rR^2/(R^2-r^2)
V(конуса)=(1/3)S(осн)*H=(1/3)*πR^2*(2rR^2)/(R^2-r^2)
V(шара)=(4/3)πr^3
По условию
V(конуса):V(шара)=8:3
(1/3)*πR^2*(2rR^2)/(R^2-r^2):(4/3)πr^3=8:3;
3R^4-16R^2r^2+16r^4=0
Делим на r^4
t=R/r
3t^2-16t+16=0
D=16^2-4*3*16=16*(16-12)=16*4=64
t=(16-8)/6=8/6=4/3 или t=(16+8)/6=4
R/r=4/3 или R/r=4
3R=4r или R=4r

tg∠OAD=r/R=(3/4) или tg∠OAD=r/R=1/4
Из прямоугольного треугольника АВD:
sin∠BAD=2tg∠OAD/(1+tg^2∠OAD)=2*(3/4)/(1+(3/4)^2)=
=24/25
тогда
или cos ∠BAD=7/25
sin∠BAD=2tg∠OAD/(1+tg^2∠OAD)=2*(1/4)/(1+(1/4)^2)=
=8/17
тогда cos ∠BAD=12/17

Из равнобедренного треугольника АВС:
sin∠ABC=sin(180 градусов -2∠BAD)=
=sin(2∠BAD)=2sin(∠BAD)*cos(∠BAD).

sin∠ABC=2*(24/25)*(7/25)=336/625;
или
sin∠ABC=2*(8/17)*(12/17)=192/289;