Задача 13487 Решите систему...

vk138380370

05.02.2017

Решите систему уравнений

log^3_(5)(1/y)^(-4)+(1/2)^(-3x) = 61

SOVA

05.02.2017

★

ОДЗ:
{y > 0

log_(5)y=u
2^x=v

{64u^3+v^3=61;
{16u^2-4uv=61-v^2;

{(4u+v)*(16u^2-4uv+v^2)=61
{16u^2-4uv+v^2=61

Значит
{4u+v=1
(16u^2-4uv+v^2=61

Возводим первое уравнение в квадрат
{16u^2+8uv+v^2=1;
{16u^2-4uv+v^2=61

Вычитаем из первого второе
{12uv=-60
{4u+v=1

{uv=-5
{v=1-4u
u*(1-4u)=-5

4u^2-u-5=0
D=81
u1=(1-9)/8=-1 или u2=5/4
v1=1-4u1=1+4=5 или v2=1-4u2=1-5=-4

Обратная замена

log_(5)y=-1 ⇒y=5^(-1)
2^x=5 ⇒ x=log_(2)5

log_(5)y=5/4
2^x=-4 нет корней, 2^x > 0 при любом х

О т в е т. (log_(2)5; 1/5)