Задача 13475 Из карточек, на которых написаны цифры...

Vladislav322

05.02.2017

Из карточек, на которых написаны цифры 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4 составляются натуральные числа, делящиеся на 36. Сколькими способами это можно сделать? (некоторые карточки при составлении чисел можно не использовать, число не может начинаться на 0).

SOVA

05.02.2017

★

36=4•9, это означает, что число должно делиться и на 9 и на 4.
Известны признаки делимости.
Признак делимости на 4: две последние цифры числа делятся на 4:
Значит последними цифрами могут быть 12, или 24 или 32. Остальные цифры перед этими должны быть выбраны так, чтобы сумма цифр числа делилась на 9

Пусть последние цифры числа 12, сумма этих двух цифр 3. Из оcтавшихся цифр 1,1,3,3,3,4 можно взять цифры 33 или 114 или 113334.
Сумма цифр таких чисел
3+3+1+2=9 кратна 9
1+1+4+1+2=9 кратна 9
1+1+3+3+3+4+1+2=18 кратна 9
Число 3312 - одно.
Чисел с цифрами 1,1,4 перед 12 три:
11412; 14112; 41112.
Цифры 1,1,3,3,3,4 можно переставить
6!/(3!*2!)способами=60
60 чисел с цифрами 1,1,3,3,3,4 перед 12.
Получили 1+3+60=64 числа

Две последние цифры числа 24.
Сумма цифр 2+4 =6
Можно выбрать впереди этих цифр цифры 3, 111, 111333.
Сумма цифр
3+2+4=9 кратна 9
1+1+1+2+4=9 кратна 9
1+1+1+3+3+3+2+4=18 кратна 9
324 - одно число
11124 - одно число
Перестановка цифр 1,1,1,3,3,3 перед цифрами 2 и 4
даст 6!/(3!*3!)=20 чисел.
Получили 22 числа.

Последние цифры 32.
Сумма цифр 3+2 =5
Можно выбрать впереди этих цифр цифры 4, 13, 111334
Сумма цифр
4+3+2=9 кратна 9
1+3+3+2=9 кратна 9
1+1+1+3+3+4+3+2=18 кратна 9
432 - одно число
1332 и 3132 -два числа
Перестановка цифр 1,1,1,3,3,4 перед цифрами 3 и 2
даст 6!/(3!*2!)=60 чисел.
Получили 1+2+60=63 числа.
О т в е т. 64+22+63=149 чисел