Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 13454 Решить неравенство...

Условие

Решить неравенство sqrt((x-1)(x-2)log(x^2)(2/x^2))/|x+2| > (x^2-3x+1+log(|x|)sqrt(2))/(x+2)

математика 10-11 класс 4739

Решение

OДЗ:
{(x-1)*(x-2)*log_(x^2)(2/x^2) больше или равно 0;
{x ≠ 0,
{x ≠±1.
Для нахождения знака произведения (х-1)(х-2) применяем метод интервалов
_+__ (-1) _+_ (0) _+_ (1) ___-___ [2] _+__

Для нахождения знака log_(x^2)(2/x^2) применяем метод рационализации логарифмических неравенств

(x^2-1)*((2/x^2)-1) ≤( или ≥) 0
(x-1)(x+1)*(2-x^2)/x^2 ≤( или ≥) 0

_-_ [-√2] _+_ (-1) _-_ (0) _-_ (1) _+__[√2]__-__

Произведение двух множителей неотрицательно когда множители имеют одинаковые знаки.
ОДЗ: х∈[-√2;-1) U[√2;2].

При x[-√2;-1) U[√2;2]
x+2 > 0
неравенство можно сократить на положительное выражение, отличное от 0.
Неравенство принимает вид:
sqrt((x-1)(x-2)log_(x^2)(2/x^2)) > x^2-3x+1+log_(|x|)sqrt(2).
или
sqrt((x-1)(x-2)(log_(x^2)2-1)) > (x-1)(х-2)-1+log_(|x|)sqrt(2).
sqrt((х-1)(х-2)*(-1+log_(|x|)sqrt(2))) > (x-1)(х-2) -1+log_(|x|)sqrt(2).
Неравенство имеет вид:
sqrt(u*v) > u+v
u=(x-1)(x-2)
v=-1+log_(|x|)sqrt(2).

1) Если u+v < 0 неравенство верно при всех х , при которых sqrt(uv) определен.

u+v=(x-1)(x-2)-1+log_(|x|)sqrt(2) < 0 на [sqrt(2);2]
cм. рисунок.

2) Ecли u+v > 0, возводим в квадрат
uv > u^2+2uv+v^2 или u^2+uv+v^2 < 0- неравенство не выполняется ни при каких х, так как D=(1-4 < 0)

u+v=(x-1)(x-2)-1+log_(|x|)sqrt(2) > 0 на [-sqrt(2);-1)
cм. рисунок.
О т в е т. [sqrt(2);2]

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК