Задача 13240 AM - Пендикуляр к плоскости ромба ABCD...

u109225536

27.01.2017

AM - Пендикуляр к плоскости ромба ABCD Длиной 8 см. Известно, что расстояние от точки М до прямой НС равно 10 см, угол В = 20°. Выполните дополнительное построения и найдите растояние oт точки М до прямой BD.

1) 12 см
2) 10 см
3) 10,5 см
4) 14 см


АВС - равнобедренный треугольник. ВС = АС =10 см, АВ = 12 см. Точка S удалена от каждой стороны на 15 см. Найдите расстояние от точки S до плоскости треугольника.

1) 8 см
2) 6sqrt(6) см
3) 12 см
4) 8sqrt(3) см

SOVA

27.01.2017

★

1)
МК⊥ВС
По теореме о трех перпендикулярах АК⊥ВС.
Из прямоугольного треугольника АМК
АМ^2=MK^2-MA^2=10^2-8^2=100-64=36
AM=6
Из прямоугольного треугольника АКВ(∠АВК=180 градусов -120 градусов=60 градусов)
АВ=АК/sin60 градусов=6/(sqrt(3)/2)=4sqrt(3).

Проводим диагональ АС. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Диагонали ромба являются биссектрисами углов ромба.
Поэтому в прямоугольном треугольнике АОВ
АО=АВ*sin60 градусов=4sqrt(3)*(sqrt(3)/2)=6

Из прямоугольного треугольника МАО
МО^2=MA^2+AO^2=8^2+6^2=100

МО=10

(Можно доказать, что треугольники АКВ и АОВ;
МАК и МАО равны)

2) Равные наклонные имеют равные проекции.
Поэтому ОМ=ОК=ON=r ( радиусу вписанной окружности)

r=S/p
Проводим высоту равнобедренного треугольника СМ.
Она является и медианой.
Из прямоугольного треугольника АСМ
СМ^2=AC^2-MA^2=10^2-6^2=100-36=64
CМ=8 см.
S(Δ ABC)=АВ*СМ/2=8*12/2=48 кв см.
р=(10+10+12)/2=16
r=48/16=3
По теореме Пифагора
SO^2=SM^2-MO^2=15^2-3^2=225-9=216
SO=sqrt(216)=6sqrt(6)
О т в е т. 6 sqrt(6)