Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться , сделав 10 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
математика 10-11 класс
32369
Пусть изначально кузнечик находится в точке 0. Каждый прыжок кузнечика равен единичному отрезку. После первого прыжка он может оказаться либо в точке 1, либо в точке –1. Значит существует 2 варианта: 1; –1. Второй прыжок. 1)Из точки 1 кузнечик может прыгнуть либо в 0, либо в 2. 2)Из точки –1 – в точку –2 или 0. Поэтому всего 3 варианта: –2, 0, 2. Третий прыжок 1)Ииз точки –2 кузнечик может попасть либо в –3, либо в –1; из 2)Из точки 0 – либо в 1, либо в –1 3)Из точки 2 – либо в 1, либо в 3. Получаем 4 варианта: –3, –1, 1, 3. Четвертый прыжок. Аналогично рассуждая получаем пять вариантов. –4, –2, 0, 2, 4. Пятый прыжок получаем шесть вариантов: –5, –3, –1, 1, 3, 5.
Проанализируем ситуацию.
Первый прыжок – два варианта.
Второй прыжок – три варианта.
Третий прыжок – четыре варианта.
Четвертый прыжок – пять вариантов
....
Восьмой прыжок – девять вариантов.
Девятый прыжок - десять вариантов
Десятый прыжок - одиннадцать вариантов
Все точки , в которых может оказаться кузнечик на k–ом прыжке описываются формулой 2n+k, –k≤n≤0.
а их количество соответственно равно k+1.
Кузнечик делает 10 прыжков, значит k = 10. Всевозможные точки, в которых может оказаться кузнечик, описываются формулой : 10+2n, –k≤n≤0.
Точки, в которых может оказаться кузнечик:-10, –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8,10.
Их количество k+1 = 10+1 = 11.
Ответ: 11.
