Задача 13034 Найдите натуральное число n, для...

u101162115

19.01.2017

Найдите натуральное число n, для которого выполняется равенство...

4^3-1 / 4^3+1 * 5^3-1/5^3+1 * ... * ...

SOVA

19.01.2017

★

4^3-1=(4-1)*(4^2+4+1)=3*21
5^3-1=(5-1)*(5^2+5+1)=4*31
...
n^3-1=(n-1)*(n^2+n+1)

4^3+1=(4+1)*(4^2-4+1)=5*13
5^3+1=(5+1)*(5^2-5+1)=6*21
...
n^3+1=(n+1)*(n^2-n+1)


(3*21/5*13)*(4*31/6*21)*...*(n-1)*(n^2+n+1)/(n+1)*(n^2-n+1)=3906/4225
3*4*(n^2+n+1)/13n(n+1)=3906/4225;

3906=2*3*651
4225=5*5*13*13
Так как числитель слева- число кратное 12, то дробь справа сократили на 2, значит
3*4*(n^2+n+1)=7812;
13*n*(n+1)=8450 ⇒ n*(n+1)=650 ⇒ n=25
О т в е т. n=25