Задача 13031 ...

slava191

19.01.2017

Решить неравенство 25^x+5^(x+1)+5^(1–x)+1/25^x ≤ 12

SOVA

19.01.2017

★

Замена переменной:
5^x=t;
5^(x+1)=5t;
25^x=t^2;
5^(-x)=1/t;
5^(1-x)=5/t
1/25^x=1/t^2
Неравенство принимает вид:
t^2+5t+(5/t)+(1/t^2) меньше или равно 12.
Замена
t+(1/t)=u
t^2+2+(1/t^2)=u^2;
t^2+(1/t^2)=u^2-2
Неравенство принимает вид
u^2-2+5u меньше или равно 12;
u^2+5u-14 меньше или равно 0.
D=25+56=81
u=(-5-9)/2=-7 или u=(-5+9)/2=2
-7 меньше или равно u меньше или равно 2
-7 меньше или равно (t)+(1/t) меньше или равно 2

{t+(1/t) больше или равно -7
{t+(1/t) меньше или равно 2

Умножим каждое неравенство на t > 0
{t^2+7t+1 больше или равно 0
{t^2-2t+1 меньше или равно 0 ⇒ t=1

при t=1 первое неравенство верно 6+7+1 больше или равно 0

Решением системы является t=1
5^x=1
5^x=5^0
x=0
О т в е т. х=0